Javier Esquinas wrote:
> On 9 abr, 13:19, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>> Pues más de geometría sencillita:
>>
>> Sea ABCD un paralelogramo cualquiera. Se escogen puntos X, Y, Z y T
>> en cada uno de sus lados, de manera que el cuadrilátero que definen
>> tiene la mitad de área que el paralelogramo. Hay que probar que al
>> menos una de sus diagonales es paralela a dos de los lados del
>> paralelogramo.
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
>
>
> Veamos el resultado para un cuadrado de lado 1.
> Para referenciarlo lo coloco en los ejes coordenados en la parte
> positiva (x >0,y > 0).
> Los vértices del cuadrilátero ABCD los coloco de forma que:
>
> A = (x,0)
> B = (1,t)
> C = (z,1)
> D = (0,y)
>
> El área del cuadrilátero será el área del cuadrado : 1 menos el área
> de los cuatro triángulos rectángulos que quedan con catetos situados
> en los lados del cuadrado.
> Si suponemos que [ABCD] = 1/2 tendremos que:
>
> 1 - 1/2(xy + (1 - y)z + (1 - z)(1 - t) + (1 - x)t) = 1/2
>
> Es decir:
>
> xy + (1 - y)z + (1 - z)(1 - t) + (1 - x)t = 1
>
> y simplificando:
>
> xy + tz - tx - yz = 0
>
> x(y - t) + z(t - y) = 0
>
> (x - z)(y - t) = 0
>
> Luego ,efectivamente,en este caso particular de un un paralelogramo/
> cuadrado de lado 1 se cumple el resultado.
> Para un paralelogramo genérico se aplican las transformaciones esas a
> las que de vez en cuando se refiere Ignacio y de las que ya no
> recuerdo nada y sale.
>
>
> Ahora bien,¿existe un demostración más sintética y menos algebraica de
> este resultado?Es que esta forma de resolverlo no me gusta nada.

Supongamos que TY no es paralelo a AB, T en DA e Y en BC. Escogemos U en BC
de manera que TU sea paralelo a AB. Entonces claramente (TUX) = (1/2)(TABU)
y (TUC) = (1/2)(TUCD), haciendo que (XUZT) = (1/2)(ABCD).

Pero los cuadriláteros XUZT y XYZT tienen la misma área, (1/2)(ABCD), y
comparten el triángulo (TXZ). Por tanto,

(XYZ) = (XUZ)

Como estos dos triángulos comparten la base XZ, su altura debe ser la misma,
por lo que XZ // BC

Por tanto, al menos una de las diagonales es paralela a los lados
correspondientes del paralelogramo ABCD.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com