Javier Esquinas wrote:
> On 7 mayo, 13:08, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>> Javier Esquinas wrote:
>>> Definimos la sucesión {a_n}, n>=0 de la siguiente forma: a_0=0 a_(k
>>> +1)=(3^a_k) + 1, k>=0 ¿ Cuál es el resto de dividir el número a_155
>>> entre 33 ?
>>
>> Obviamente, a_k = 1 (mod 3), para k >= 1. Solo necesitamos ver
>> entonces como es módulo 11.
>>
>> Como fi(11) = 10, necesitamos ver como es el exponente módulo 10.
>> Podriamos seguir con fi(10) = 4, pero ya directamente vemos que como
>> 3^(2k) = 9 (mod 10), a(k) = 0 (mod 10) para k >= 2.
>>
>> Por tanto 3^a(k) + 1 = 3^10 + 1 = 1 + 1 = 2 (mod 11) para k >= 2
>>
>> Por tanto, a(k) = 13 (mod 11) , para todo k >= 3
>>
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
>
> No acabo de ver tu razonamiento.

No me extraña nada, porque con las prisas me confundí ...

Tenemos que 3^fi(11) = 3^10 = 1 (mod 11), por el Teorema de Euler-Fermat.
Por tanto, es suficiente con ver como es el exponente módulo 10.

Como fi(10) = (2 - 1)(5 - 1) = 4, es suficiente con ver a su vez como es el
exponente módulo 4.

Per 3 elevado a una potencia par es igual a 1 (mod 8), por lo que a(k) = 2
mod(4), pra todo k >= 1.

entonnces 3^a(k) + 1 = 3^2 + 1 = 0 (mod 10) para todo k >= 2

Y por tanto,

3^a(k) + 1 = 1 + 1 = 2 para todo k >= 3

Combinado conque a(k) = 1 (mod 3) para todo k >= 1, nos queda que


a(k) = 13 (mod 11) , para todo k >= 3

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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com