"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:68j7iuF2she3gU1***mid.individual.net...
> Javier Esquinas escribió:
>> Sea I el incentro del triangulo ABC.Supongamos que IB=IC=rq(3) y IA =
>> 3.Calcular al superficie del triangulo ABC.
>
> Intentemos obtener una fórmula general.
>
> Sean x,y,z las distancias desde el incentro a los vértices. Sea r el
> inradio.
>
> Consideremos tres circunferencias tangentes exteriores :-) de radios a, b
> y c centradas en los vértices. Sus puntos de tangencia son los pies de las
> perpendiculares desde el incentro a cada uno de los radios.
>
> Tenemos, por el teorema de Pitágoras
>
> a^2 + r^2 = x^2
>
> b^2 + r^2 = y^2
>
> c^2 + r^2 = z^2
>
> Por otro lado, por la fórmula de Heron
>
> S = rq(abc(a+b+c))
>
> y, sumando las áreas de los tres triángulos ABI, ACI y BCI, todos los
> cuales tienen altura r
>
> S = (a+b+c)r
>
> de donde
>
> r = rq(abc/(a+b+c))
>
> Sustituyendo r^2 queda
>
> a(a+b)(a+c)/(a+b+c) = x^2
>
> b(a+b)(b+c)/(a+b+c) = y^2
>
> c(a+c)(b+c)/(a+b+c) = z^2
>
> La cosa seria resolver este sistema y hallar a,b y c, o al menos las
> combinaciones
>
> P = -(a+b+c) Q = (ab + ac + bc) R = -abc
>
> de forma que S = rq(PR).
>
> Para nuestro caso particular y = z = rq(3), x = 3, lo que da el sistema
>
> a(a+b)^2/(a+2b) = 9
>
> 2b^2(a+b)/(a+2b) = 3
>
> Dividiendo
>
> a(a+b) = 6b^2
>
> de donde a = 2b y, sustituyendo,

Aquí no me queda claro por qué tiene que ser a = 2b.
¿ A ojo ?



> b = rq(2) a = 2rq(2)
>
> S = rq((2rq(2))(rq(2))^2(2rq(2) + rq(2) + rq(2)) = 4 rq(2)
>
> Pero, ¿existe solución analítica sencilla para x, y y z arbitrarios?
>
>
>
> --
>
> Antonio
>