Javier Esquinas escribió:
> Sea I el incentro del triangulo ABC.Supongamos que IB=IC=rq(3) y IA =
> 3.Calcular al superficie del triangulo ABC.

Intentemos obtener una fórmula general.

Sean x,y,z las distancias desde el incentro a los vértices. Sea r el
inradio.

Consideremos tres circunferencias tangentes exteriores :-) de radios a,
b y c centradas en los vértices. Sus puntos de tangencia son los pies de
las perpendiculares desde el incentro a cada uno de los radios.

Tenemos, por el teorema de Pitágoras

a^2 + r^2 = x^2

b^2 + r^2 = y^2

c^2 + r^2 = z^2

Por otro lado, por la fórmula de Heron

S = rq(abc(a+b+c))

y, sumando las áreas de los tres triángulos ABI, ACI y BCI, todos los
cuales tienen altura r

S = (a+b+c)r

de donde

r = rq(abc/(a+b+c))

Sustituyendo r^2 queda

a(a+b)(a+c)/(a+b+c) = x^2

b(a+b)(b+c)/(a+b+c) = y^2

c(a+c)(b+c)/(a+b+c) = z^2

La cosa seria resolver este sistema y hallar a,b y c, o al menos las
combinaciones

P = -(a+b+c) Q = (ab + ac + bc) R = -abc

de forma que S = rq(PR).

Para nuestro caso particular y = z = rq(3), x = 3, lo que da el sistema

a(a+b)^2/(a+2b) = 9

2b^2(a+b)/(a+2b) = 3

Dividiendo

a(a+b) = 6b^2

de donde a = 2b y, sustituyendo,

b = rq(2) a = 2rq(2)

S = rq((2rq(2))(rq(2))^2(2rq(2) + rq(2) + rq(2)) = 4 rq(2)

Pero, ¿existe solución analítica sencilla para x, y y z arbitrarios?



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Antonio