Beltran escribió:
> Antes que nada, gracias por vuestras respuestas.Ahora tengo una duda
> que por más vueltas que le doy no soy capaz de ver el error.
> El problema es hallar el volumen de un toro engendrado por la
> revolución del círculo x^2+(y-b)^2=a^2 alrededor del eje OX.
> (Suponiendo b>a).
> Lo intento resolver hallando el volumen de medio toro (el superior),
> es decir Pi*int(b+sqrt(a^2-x^2)^2-b^2,x=-a,x=a) y no me sale la
> respuesta correcta,¿sabeis donde me equivoco?

Para empezar, lo que calculas no tiene dimensiones de volumen, sino de
superficie, por lo que evidentemente está mal.

Segundo, si integras solo para la raíz positiva, no estás hallando el
área de una sección de toroide, sino de una superficie que llega hasta
el eje. La integral debe tener en cuenta que una sección de toroide se
entiende desde la raíz negativa hasta la positiva.

Tercero, no tienes en cuenta que la longitud de una circunferencia
situada más cerca del eje OX es menor que la de una más alejada y por
tanto la más cercana contribuye menos al volumen. Ese Pi debería ser un
2Pi y, con la y dentro de la integral.

Cuarto, ese factor y sugiere que es mejor integrar con y como variable,
no con x.

Con todos estos apaños, la integral correcta quedaría

I = 2pi int_(b-a)^(b+a) y 2rq(a^2 - (y-b)^2) dy

Haciendo el cambio de variable

y = b + a cos(t)

queda

I = 4pi a^2 int_0^pi (b+acos(t))sen^2(t) dt = 4pi a^2 b pi/2 =

= 2pi^2b a^2

Ahora, lo suyo es calcular este volumen empleando el teorema de
Pappus-Guldin. El área del círculo es pi a^2. La distancia del CM al eje
OX es b, por lo que al girar describe una circunferencia de longitud
2pib. Por tanto el volumen es

V = (2pi b)(pi a^2) = 2pi^2 b a^2


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Antonio