"Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
news:g02uj0$gsj$1***registered.motzarella.org...
>
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
> en el mensaje news:68jgmuF2t19fqU1***mid.individual.net...
>> Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
>>> Javier Esquinas wrote:
>>>> (i) Si x e y son numeros reales distintos tales que:
>>>> x^3 = 1 - y
>>>> y^3 = 1 - x
>>>>
>>>> calcular todos los posibles valores de x·y.
>>>
>>> 0, fi, -1/fi
>>
>> Bueno, si x e y han de ser resles, solo 0 y -1/fi.
>>
>>
>
> xy = 0 se ve a ojo. Pero, ¿ cómo has deducido la otra ?
>
Ya estaba picado e intrigado con el dichoso problemita :

Sumando miembro a miembro :

x^3 + y^3 = 2 - ( x + y )

Restando miembro a miembro :

x^3 - y^3 = x - y

Pero, ( x + y )^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y)

y ( x - y )^3 = ( x - y )(x^2 + xy + y^2)

Sea P = -( x + y) y Q = xy

Entonces : (-P)^3 - 3Q(-P) = 2 - (-P) ==> 3PQ = P^3 + P + 2

Y, como x =/= y, x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy = P^2 - Q = 1

Sustituyendo Q = P^2 - 1 en 3PQ = P^3 + P + 2 resulta

P^3 - 2P - 1 = 0

Las soluciones de esta ecuación son P = -1, phi, -1/phi

Y las soluciones respectivas para Q son 0, phi, -1/phi.

Pero el sistema :

x + y = phi , xy = phi tiene sus soluciones complejas.

Luego, los valores posibles de xy para "x" e "y "distintos y reales
son, únicamente, 0 y -1/phi.

Un problema muy bonito. Pero, ¡ caray con los sencillitos de Javier
Esquinas !

Saludos,