Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Antonio González escribió:
>>> Sea el recinto formado por un cuadrado de lado 2, centrado en el
>>> origen y con sus lados paralelos a los ejes, más sendos semicírculos
>>> de radio 1 adosados a cada uno de los lados del cuadrado.
>>>
>>> Hallar la intgeral, en el *exterior* de la figura anterior:
>>>
>>> I = int dx dy/(x^2+y^2)^2
>>>
>>>
>>>
>> Pista: Inversión.
>
> ¡No había caido ...! ";^)
>
> La inversión de centro O y potencia 4 transforma el recinto de integración
> en el interior del cuadrado de lado 4 centrado en O.
>
> Como ya sabemos, la transformación es
>
> x = 4u/(u^2 + v^2), y = 4v/(u^2 + v^2) ===>
>
> 1/(x^2 + y^2)^2 = (u^2 + v^2)^2/256
>
> La matriz Jacobiana es
>
> M = [4(v^2 - u^2)/(u^2 + v^2)^2, - 8uv/(u^2 + v^2)^2; - 8uv/(u^2 + v^2)^2,
> 4(u^2 - v^2)/(u^2 + v^2)^2]
>
> Y su determinante,
>
> J = |M| = - 16/(u^2 + v^2)^2
>
> Por tanto, la integreal pedida es equivalente a la terrible
>
> I = Int(Int( ((u^2 + v^2)^2/256)(16/(u^2 + v^2)^2), u, -2, 2), v, -2, 2)
>
> = Int(Int( (1/16), u, -2, 2), v, -2, 2) = 1
>
>

Se puede hacer un poco más corto pasando por polares. La integral
propuesta equivale a

I = int_D r dr df/r^4 = int_D dr/r^3 df

Si hacemos la inversión en torno al origen

r' = K/r f' = f

dr' = -K/r^2 dr df' = df

queda

I = (1/K^2) int_D' r' dr' df' =

= (1/K^2) int_D' dx' dy'

El dominio con la inversión se convierte en el interior de un cuadrado
de arista

a' = 2(K/2) = K

(invirtiendo uno de los extremos de uno de los arcos semicirculares)

por lo que da

I = (1/K^2) K^2 = 1



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Antonio