"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:68l5b4F2r6d8qU1***mid.individual.net...
> Antonio González escribió:
>> Los lados de un triángulo verifican la ecuación cúbica
>>
>> x^3 + P x^2 + Q x + R = 0
>>
>> Escribir en términos de P, Q y R
>>
>> -el área del triángulo
>> -el circunradio
>> -el inradio
>> -la distancia entre incentro y circuncentro
>> -los radios de Soddy, interior y exterior
>>
>> ¿Qué condiciones deben satisfacer P, Q y R?
>>
>
> Por hacerlo más fácil, consideremos tres circunferencias tangentes
> exteriores cuyos radios verifican la cúbica
>
> x^3 + A x^2 + B x + C = 0
>
> Los centros de estas circunferencias define un triángulo.
>
> Escribir, en términos de A, B y C,
>
> -el área del triángulo
> -el circunradio
> -el inradio
> -la distancia entre incentro y circuncentro
> -los radios de Soddy, interior y exterior
>
> ¿Qué condiciones deben satisfacer A, B y C?


1) Área del triángulo

Por la fórmula de Herón, S = rq(abc(a+b+c)), puesto
que los lados de nuestro triángulo son a+b, a+c y b+c.

Luego, S = rq(AC)

2) Inradio

S = rp, donde p es el semiperímetro. En nuestro caso,
es p = a+b+c.

Luego, r = - rq(AC)/A

3) Circunradio

R = (a+b)(a+c)(b+c)/4rp , con p el semiperímetro.

Pero, (a+b)(a+c)(b+c) = (ab+ac+bc)(a+b+c)-abc = B(-A)+C

Luego, R = (C-AB) / 4rq(AC)

4) Distancia entre el incentro y el circuncentro

Según la fórmula de Euler, d^2 = R(R-2r) y basta sustituir
las expresiones obtenidas para r y R.

Saludos,