"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:6ahjcsF37ph7lU1***mid.individual.net...
> Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>>
>> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com>
>> schrieb im Newsbeitrag news:6acnviF37d707U1***mid.individual.net...
>>> Luis wrote:
>>>> 1) Sea la sucesión {a(n)} dada por su término general
>>>>
>>>> a(n) = 3[1+a(n-1)] / ( 3 + a(n-1) ), con a(1) > 0.
>>>>
>>>> Demostrar que es convergente y calcular su límite.
>>>
>>> Si la sucesión es convergente, siendo 'a' su límite, debe
>>> verificarse que
>>>
>>> a = 3(1 + a)/(3 + a) ===> a = +/- rq(3)
>>>
>>> Si a(1) > 0, a(n) > 0 para todo n y el límite, de existir, debe ser
>>> rq(3). Veamos que lo es.
>>>
>>> |rq(3) - a(n)| = |rq(3) - 3(1 + a(n-1))/(3 + a(n-1))
>>>
>>> = |(3 - rq(3))(rq(3) - a(n-1))/(a(n-1) + 3)|
>>>
>>> Teniendo en cuenta que a(n-1) > 0,
>>>
>>> |rq(3) - a(n)| < (1 - rq(3)/3)|rq(3) - a(n -1)|
>>>
>>>
>>> Dado que 1 - rq(3)/3 ~= 0.4226... < 1, a(n) converge a rq(3)
>>>
>>>
>>> En realidad, la condición a(1) > 0 no es totalmente necesaria.
>>> Puede ser a(1) cualquiera en R, excepto precisamente -rq(3), que es
>>> un punto fijo inestable, o los terminos de
>>>
>>> b(n) = 3(1 - b(n-1))/(b(n-1) - 3)
>>>
>>> b(1) = - 3
>>>
>>> que al aplicarles la recurrencia propuesta, acaban produciendo el
>>> valor a(n-1) = -3, con lo que a(n) ya no esta definido.
>>>
>>> De resto, rápidamente a(n) es positivo, en cuanto a(n - 1) no esté
>>> en [-3, -1], y converge a rq(3).
>>>
>>>
>>> --
>>> Saludos,
>>>
>>> Ignacio Larrosa Cañestro
>>> A Coruña (España)
>>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>>>
>>>
>> La recursión es de la forma general
>>
>> a(n) = ( A a(n-1) + B )/( C a(n-1) + D)
>>
>> Calculando a(n+1) vemos que lo podemos escribir como
>>
>> a(n+1) = (A' a(n-1) + B') / (C' a(n-1) + D')
>>
>> con
>>
>> A' = A*A+B*C, B' = A*B+D*B, C' = C*A+D*C, D' = C*B+D*D
>>
>> Definimos la matriz
>>
>> m = ( (A,B) , (C,D) )
>>
>> vemos que a(n+1) corresponde al producto de la matriz con ella
>> misma.
>> Por tanto, si ponemos
>>
>> m^n = ( (A(n),B(n)),(C(n),D(n)) )
>>
>> a(n) = ( A(n) a(0) + B(n) ) / ( C(n) a(0) + D(n) )
>>
>> Por tanto sólo tenemos que investigar las potencias de una matriz
>> que es un caso estandar...
>>
>
> Otra forma es hacer el cambio de variable
>
> a(n) = rq(3)c(n)
>
> que convierte la recurrencia en
>
> c(n) = rq(3)(1+rq(3)c(n-1))/(3+rq(3)c(n-1)) =
>
> = (1 + rq(3)c(n-1))/(rq(3) + c(n-1)) =
>
> = (1/rq(3) + c(n-1))/(1 + (1/rq(3))c(n-1))
>
> Si hacemos
>
> c(n) = th(u(n))
>
> U = argth(1/rq3))
>
> nos queda
>
> th(u(n)) = th(u(n-1) + U)
>
> de donde
>
> u(n) = u(0) + n U
>
> en el límite u(n) tiende a infinito, c(n) a 1 y a(n) a rq(3).
>
>
> --
>
> Antonio

Muy elegante, pero uno debe adivinar mucho ...

La aparición de la matriz m podemos ver si ponemos a(n) = u(n)/v(n).
Nos quedan las dos recursiones

u(n) = A u(n-1) + B v(n-1)
v(n) = C u(n-1) + D v(n-1)

Con el vector W(n) = (u(n),v(n)) y la matriz m definido antes lo
podemos escribir como una recursión vectorial

W(n) = m.W(n-1)

Saludos,
Wolfgang