"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:6aqu2uF38tc12U1***mid.individual.net...
> Luis escribió:
>> Sea X una variable aleatoria con función de distribución
>> F(x) = 1 - 1 / 2^[x] para todo x >=1 , F(x) = 0 si x < 1.
>> Calcular su esperanza y su varianza.
>>
>> [x] = parte entera de x
>>
>
> derivando obtenemos la distribución de probabilidad
>
> f(x) = F'(x) = sum_(n=1)^oo (1/2^n) delta(x-n)
>
> Por lo que no es más que una distribución geométrica con
>
> p(n) = 1/2^n n >=1
>
> Su función generatriz
>
> G(z) = sum_(n=1)^oo(z^n/2^n) = z/(2-z) = 2/(2-z) - 1
>
> La esperanza es
>
> E(x) = G'(1) = 2/(2-1)^2 = 2
>
> y la varianza
>
> V(x) = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2 = 4 + 2 - 4 = 2
>
> Nota: Luis, deberías dosificarte y no poner tantos problemas seguidos. De
> ese modo los podríamos disfrutar más.
>

Pregunto si no puede razonarse así.
La función F es discontinua en los naturales, con saltos de tamaño
F(k) - F(k-) = 1/2^k , k natural

Luego, la probabilidad que asigna F a cada número natural k
es P({k}) = 1/2^k

Como Sum(P({k}),k=1..oo) = 1, toda la probabilidad está acumulada
en los naturales. Luego :

E(X) = Sum( k/2^k, k=1..oo) = 2

V(X) = Sum(k^2/ 2^k , k=1..oo) - E(X)^2 = 6 - 4 = 2.

Por otro lado, Antonio, ¿ por qué podemos derivar directamente F(x),
si es una función discontinua ?

Saludos,