Antonio González escribió:
> Antonio González escribió:
>> Se tiene una circunferencia c(0), de centro C(0) y radio R(0).
>> Interior a ella se encuentra una circunferencia c(1), de centro C(1) y
>> radio R(1).
>>
>> Se halla la circunferencia c(2), como la inversa de c(0) respecto a
>> c(1). Luego se halla c(3) como la inversa de c(1) respecto a c(2) y
>> asÃ*** sucesivamente.
>>
>> ¿Cuáles son los radios y centros de las sucesivas circunferencias? ¿A
>> qué punto tiende la sucesión de circunferencias?
>>
>> Si no me equivoco, este problema carece de solución analÃ***tica general,
>> asÃ*** que mejor, planteamos una versión más sencilla:
>>
>> 1) Establecer las relaciones de recurrencia para los sucesivos centros
>> y radios.
>>
>> 2) Determinar las soluciones analÃ***ticas en los siguientes casos:
>>
>> 2.1) C(1) = C(0) R(1) = r R(0)
>>
>> 2.2) C(0) = 0, R(0) = 1, C(1) = (1/2,0), R(1) = 1/2
>>
>> 2.3) C(0) = 0, R(0) = 1, C(1) = (1/3,0), R(1) = 1/3
>>
>> 2.4) C(0) = 0, R(0) = 1, C(1) = (1/m,0), R(1) = 1/m
>>
>>
>
> ¿Nadie se atreve? Venga, señores, que aparecen inversiones,
> recurrencias, progresiones aritméticas, geométricas ¡y hasta los números
> de Fibonacci!
>

Bueeeno. Empezaré por el primer apartado.

Sean c(n) y c(n+1) dos circunferencias sucesivas. Se trata de invertir
c(n) respecto a c(n+1), para producir c(n+2). Como los centros van a
estar alineados, podemos suponerlos sobre el eje X y tratarlos de forma
escalar. En este caso, las ecuaciones de la inversión nos dan

C(n+2) + R(n+2) = C(n+1) + R(n+1)^2/(C(n) + R(n) - C(n+1))

C(n+2) - R(n+2) = C(n+1) + R(n+1)^2/(C(n) - R(n) - C(n+1))

Sumando y restando

C(n+2) = C(n+1) + R(n+1)^2(C(n+1)-C(n))/(R(n)^2-(C(n)-C(n+1)^2)

R(n+2) = R(n+1)^2R(n)/(R(n)^2 - (C(n)-C(n+1)^2))

y la solución de los casos particulares os la dejo a vosotros.


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Antonio