"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:6ba70mF3am9ekU1***mid.individual.net...
> Luis escribió:
>> "Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
>> news:g2okuo$p5s$1***registered.motzarella.org...
>>>>>>>>> 1) Sea X una variable aleatoria continua con función
>>>>>>>>> de densidad f(x) = e^(-x) si x >=0 ( 0 en el resto ).
>>>>>>>>> Si definimos Y del siguiente modo :
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> Y = X si X <=1 , Y = 1/X si X >1
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> se pide encontrar la función de densidad de Y
>>>>>>>>>
>>>>>>>> Algo raro, pero es la suma de las funciones inversas en los
>>>>>>>> intervales correspondientes
>>>>>>> Y tan raro. Es que está mal el enunciado. Debe ser :
>>>>>>>
>>>>>>> Y = X si X >= 1 , Y = 1/X si X > 1
>>>> Joder, la que estoy montando con este problema.
>>>> Debe ser como te dije antes, es decir,
>>>>
>>>> Y = X , si X >=1 , Y = 1/X si X >1
>>>>
>>>> Así es como viene propuesto en el libro del que lo he sacado.
>>>> Lo que pasa es que yo pensé, como tú, que debía haber un
>>>> error, pues no parece que haya diferencia entre X >= 1 y
>>>> X > 1. Pero sí la hay.
>>>>
>>>> Hay que estudiar dos casos :
>>>>
>>>> a) Si X = x con x >= 1, entonces para cada "y"
>>>> tal que Y = y es y = x >= 1
>>>>
>>>> b) Si X = x con x > 1, entonces para cada "y"
>>>> tal que Y = y es y = 1/x ==> x = 1/y > 1 ==>
>>>> ==> y < 1
>>>>
>>>> La función de distribución de X es F(x) = 1-e^(-x), x>=0
>>>>
>>>> Luego, la función de distribución G de Y será :
>>>>
>>>> (i) 0<y<1
>>>>
>>>> G(y) = P( Y <= y ) = P( 1/X <= y ) = P( 1/y <= X ) =
>>>>
>>>> = 1 - P( X < 1/y ) = 1 - F(1/y) = e^(-1/y)
>>>>
>>>> (ii) y >= 1
>>>>
>>>> G(y) = P( Y <= y ) = P ( 0 <Y < 1 ) + P( Y <= y ) =
>>>>
>>>> = P( 0 < 1/X < 1 ) + P( Y <= y ) =
>>>>
>>>> = P( X > 1 ) + P( Y <= y ) = 1 - P( X <= 1 ) + P( Y <= y )
>>>> =
>>>>
>>>> = 1 - F(1) + F(y) = 1 + 1/e - e^(-y)
>>>>
>>>> Y claro, esto no puede estar bien, porque cuando "y" tiende
>>>> a +oo , G(y) tiende a 1 + 1/e y no a 1.
>>>> Así que G(y) no es función de distribución.
>>>>
>>>> Entonces, ¿ dónde está el error ? ¿ En el enunciado del
>>>> problema o en la resolución ?
>>>>
>>>> Saludos,
>>>
>>> Bueno, realmente en (ii) sería :
>>>
>>> G(y) = P( Y <= y ) = P ( 0 <Y < 1 ) + P( 1 <= Y <= y )
>>>
>>> Y, haciendo las cuentas, queda
>>>
>>> G(y) = 1- F(1) + F(y) - F(1) = 1 - 2F(1) + F(y) =
>>>
>>> = 2/e - e^(-y)
>>>
>>> que tampoco es una función de distribución, pues
>>> no tiende a 1 cuando "y" tiende a +oo.
>>>
>>> A ver quién lo hace bien.
>>>
>>> Saludos,
>>>
>>
>> He llegado a que
>>
>> G(y) = e^(-1/y) si 0 < y < 1
>>
>> G(y) = 2/e - e^(-y) si y >= 1
>>
>> Esto no es una función de distribución.
>>
>> Pero H(y) = (e/2) G(y) sí que lo es.
>>
>> ¿ Qué está pasando ?
>>
>
> Menudo lío estás montando. ¿Cómo van a ser los casos X>=1 y X>1, si solo
> se diferencian en X=1? ¿Y qué pasa con los X<1?
>
> Volviendo a la función original
>
> Y = X si X <=1
>
> Y = 1/X si X > 1
>
> que está perfectamente definida y es continua, para un Y determinado solo
> hay que sumar las probabilidades de los X correspondientes
>
> p(Y) dY = f(Y) dX + f(1/Y) dX =
>
> = (e^-Y dY + e^(-1/Y) dY/Y^2) =
>
> = (e^(-Y) + e^(-1/Y)/Y^2) dY
>
> por tanto
>
> p(Y) = (e^-Y + e^(-1/Y)/Y^2)
>
> con 0 < Y <=1.
>

Muchas gracias, Antonio. Ahora lo veo claro. Si es que me pongo
nervioso y menudas monto.

Claro, no caí en que puede usarse también para este caso
la transformación :

g(y) = f[g^(-1)(y)] | g^(-1)' (y)

puesto que tanto g(x) = x como g(x) = 1/x son monótonas en
cada intervalo de X [0,1] y ( 1, +oo ).

Gracias de nuevo.

Saludos,