"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:6bsstsF3cspo1U1***mid.individual.net...
> Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>>
>> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>> news:6bsbbrF3ddrp6U1***mid.individual.net...
>>> Un campo vectorial V(R) se dice equiproyectivo si para cualesquiera
>>> dos puntos R1 y R2
>>>
>>> V(R2)·(R2-R1) = V(R1)·(R2-R1)
>>>
>>> (esto es el campo en los dos puntos posee la misma proyección sobre
>>> la recta que une los dos puntos).
>>>
>>> Demostrar que un campo es equiproyectivo si y solo sí es de la
>>> forma
>>>
>>> V(R) = V0 + w x R
>>>
>>> con V0 y w vectores constantes, x es el producto vectorial.
>>>
>>> --
>>>
>>> Antonio
>>
>> 1) La condición es suficiente
>>
>> Sea V(R) = V0 + wxR
>>
>> Entonces
>> V(R2).(R2-R1) = V0.(R2-R1) + (wxR2).(R2-R1)
>>
>> pero porque vale para cualesquiera tres vectores que a.(bxc) =
>> b.(cxa) = c.(axb) queda
>>
>> V(R2).(R2-R1) = V0.(R2-R1) + (R2x(R2-R1)).w = V0.(R2-R1) -
>> (R2xR1)).w (ya que axa=0)
>>
>> ahora
>>
>> V(R1).(R2-R1) = -(1<->2) = - V0.(R1-R2) + (R1xR2).w = V0(R2-R1) +
>> (R2xR1).w (ya que axb = - bxa)
>>
>> por tanto
>>
>> V(R2)·(R2-R1) = V(R1)·(R2-R1)
>>
>> QED.
>>
>> 2) Es necesario la condición?
>>
>> Escribimos V(R2)·(R2-R1) = V(R1)·(R2-R1) en la forma
>>
>> (2) (V(R2)-V(R1))·(R2-R1) = 0
>>
>> Porque (2) vale para cualequiera dos vectores R2 y R1 podemos poner
>>
>> R2 = R1 + dR
>>
>> con un vector dR infinitesimal.
>>
>> Ahora podemos desarollar
>>
>> V(R1+dR) - V(R1) = DV/DR . dR
>>
>> donde
>>
>> DV/DR = es el tensor dV_i/dR_k
>>
>> y
>>
>> (DV/DR.dR )_i= Sum ((dV_i/dR_k) dR_k, {k,1,3})
>>
>> Por tanto tenemos que
>>
>> 0 = (dV_i/dR_k) dR_k dR_i
>>
>> con dR un vector infinitesimal pero arbitrario.
>>
>> El tensor (dV_i/dR_k) debe ser de la forma general (porque sólo
>> tenemos los vectores R y los tensores d_ik (Kronecker delta) y
>> eps_ijk (tensor total antisimétrico)
>>
>> (dV_i/dR_k) = A(|R|) d_ik + B(|R|) R_i R_k + C(|R|) Sum ( (eps_ikj
>> R_j), {j,1,3})
>>
>> ...
>>
>> no sé cómo continuar...
>>
>
> Por ese camino me quedé yo atascado bastante tiempo.
>
> Pero te puedo asegurar que sí, que la condición es necesaria y
> suficiente.
>
> --
>
> Antonio

Vale, voy a tratar untilizar más la relación (ahora con dR_i -> a_i)

(2) 0 = (dV_i/dR_k) a_k a_i

Podemos escoger las a_i como nos da la gana. Por eso aquí van unos
selecciones

(a) uno de las a_i =1, las otras = 0

a_1 = 1 dV_1/dR_1 = 0
a_2 = 1 dV_2/dR_2 = 0
a_3 = 1 dV_3/dR_3 = 0


(b) dos de los a_i = 1, la otra = 0

a_1 = 0 dV_2/dR_3 + dV_3/dR_2 = 0
a_2 = 0 dV_1/dR_3 + dV_3/dR_1 = 0
a_3 = 0 dV_1/dR_2 + dV_2/dR_1 = 0

(c) las tres a_i = 1

no nos da una nueva condición.

Diferenciamos otra vez en (b) así

a_1 = 0 d/dR_3 : d2V_2/dR_3^2 + d2V_3/dR_2/dR_3 = 0 ->
(d/dR_3)^2 V_2 = 0
d/dR_2 : d2V_2/dR_3/dR_2 + d2V_3/dR_2^2 = 0 ->
(d/dR_2)^2 V_3 = 0

etc. y nos queda que el vector V depende linealmente del vector R, o
sea

(3) V_1 = c_1 + c_12 R_2 + c_13 R_3
V_2 = c_2 + c_21 R_1 + c_23 R_3
V_3 = c_3 + c_31 R_1 + c_32 R_2

donde todos los c son conatantes.

Ahora desde (b) con (3) tenemos

a_1 = 0 c_23 + c_32 = 0
a_2 = 0 c_13 + c_31 = 0
a_3 = 0 c_12 + c_21 = 0

Si ahora llamamos

c_1 = V0_1, c_2 = V0_2, c_3 = V0_3

y

c_32 = w_1, c_13 = w_2, c_21 = w_3

hemos hallado que necesáriamente V(R) debe ser de Forma buscado. QED.

Uf ... un camino largo pero nos acabo de llevar al fin.

Saludos,
Wolfgang