jcb escribió:
> On 20 jun, 13:18, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> jcb escribió:
>>
>>> Estoy trabajando en el entorno de las integrales eulerianas y veo el
>>> siguiente problema del que conozco el resultado pero que no sé
>>> resolver:
>>> Hallar la relación entre I y J siendo I=Int(1/rq((1+x^n),x,0,inf) ;
>>> J=Int(1/rq(1-x^n),x,0,1) ; n>2.
>>> Solución: sec(pi/n)
>> Cuando hablas de relación ¿a qué te refieres? ¿al cociente?
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> SÃ***, efectivamente: I/J

Para I(n), sea

t = 1/(1 + x^n)

x = (1/t - 1)^(1/n)

dx = (1/n)(1/t - 1)^(1/n-1)/(nt^2)dt

I(n) = int_0^1 t^(-1/2-1/n)(1-t)^(1/n-1)/n dt =

= Beta(1/2 - 1/n,1/n)/n =

= Gamma(1/2 -1/n)Gamma(1/n)(1/n)/Gamma(1/2) =

= Gamma(1/n + 1)Gamma(1/2 - 1/n)/rq(pi)

Para J(n), sea

t = x^n

x = t^(1/n)

dx = (1/n)t^(1/n-1) dt

J(n) = int_0^1 t^(1/n-1)(1-t)^(-1/2)/n dt =

= Beta(1/n,1/2)/n =

= (1/n)Gamma(1/n)Gamma(1/2)/Gamma(1/2 + 1/n) =

= Gamma(1/n+1)rq(pi)/Gamma(1/2 + 1/n)

de forma que su cociente vale

I(n)/J(n) = Gamma(1/2 - 1/n) Gamma(1/2 + 1/n)/pi

y por la fórmula de reflexion de Euler
(#46 de http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html)

I(n)/J(n) = sec(pi/n)


--

Antonio