Javier Esquinas escribió:
> On 23 jun, 19:57, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> Javier Esquinas escribió:
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>>> On 23 jun, 11:44, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>>>> De los que le gustan a Javier Esquinas, ya que además es una
>>>> consecuencia de su problema:
>>>> Sea un triángulo ABC (por simplificar, con ángulos menores de 120º).
>>>> Sobre sus lados se adosan exteriormente sendos triángulos equiláteros
>>>> ABD, BCE, CAF.
>>>> -Probar que los segmentos AE, BF y CD tiene la misma longitud.
>>>> -Probar que estos tres segmentos se cortan en un punto ceviano P.
>>>> --
>>>> Antonio
>>> SÃ***,Antonio,efectivamente es de los que me gustan a mÃ*** y tiene mucha
>>> relación con el problema del triángulo equilátero que propuse.
>>> El punto P yo le llamarÃ***a F:es el famosÃ***simo punto de Fermat que
>>> mimimiza la suma de las distancias a los vértices.
>> Vale, pero ahora manda una demostración.
>>
>> --
>>
>> Antonio- Ocultar texto de la cita -
>>
>> - Mostrar texto de la cita -
>
> El que las tres longitudes son iguales es elemental utilizando el
> teorema del coseno.No creo que quieres que te maltrate escribiéndolo.
>

No, pero se puede dar alguna demostración más "abstracta".

Por ejemplo, usando variable compleja:

Sean z1, z2 y z3 los vértices del triángulo ABC. Construimos el
triángulo BCE girando el segmento BC un ángulo de 60º en torno a c, por
lo que

z4 = z3 + w(z2-z3)

con w = 1^(1/6), que verifica w* + w = 1

El vector que une z4 con z1 es

z4 - z1 = -z1 + w z2 + (1-w)z3 =

= -z1 + w z2 + w* z3 =

= w^3 z1 + w z2 + w^5 z3

Es claro que si repetimos el proceso para otro triángulo, obtenemos una
permutación circular de los Ã***ndices, de forma que

z5 - z2 = w^3 z2 + w z3 + w^5 z1 =

= w^2(w z2 + w^5 z3 + w^3 z1)

y como |w| = 1, resulta que

|z5 - z2| = |z4 - z1| = |z6 - z3|

--

Antonio