"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:68dkl4F2sbaptU1***mid.individual.net...
> Javier Esquinas wrote:
>> On 7 mayo, 13:08, "Ignacio Larrosa Cañestro"
>> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>>> Javier Esquinas wrote:
>>>> Definimos la sucesión {a_n}, n>=0 de la siguiente forma: a_0=0 a_(k
>>>> +1)=(3^a_k) + 1, k>=0 ¿ Cuál es el resto de dividir el número a_155
>>>> entre 33 ?
>>>
>>> Obviamente, a_k = 1 (mod 3), para k >= 1. Solo necesitamos ver
>>> entonces como es módulo 11.
>>>
>>> Como fi(11) = 10, necesitamos ver como es el exponente módulo 10.
>>> Podriamos seguir con fi(10) = 4, pero ya directamente vemos que como
>>> 3^(2k) = 9 (mod 10), a(k) = 0 (mod 10) para k >= 2.
>>>
>>> Por tanto 3^a(k) + 1 = 3^10 + 1 = 1 + 1 = 2 (mod 11) para k >= 2
>>>
>>> Por tanto, a(k) = 13 (mod 11) , para todo k >= 3
>>>
>>> Saludos,
>>>
>>> Ignacio Larrosa Cañestro
>>> A Coruña (España)
>>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>>
>>
>> No acabo de ver tu razonamiento.
>
> No me extraña nada, porque con las prisas me confundí ...
>
> Tenemos que 3^fi(11) = 3^10 = 1 (mod 11), por el Teorema de Euler-Fermat.
> Por tanto, es suficiente con ver como es el exponente módulo 10.
>
> Como fi(10) = (2 - 1)(5 - 1) = 4, es suficiente con ver a su vez como es
> el exponente módulo 4.
>
> Per 3 elevado a una potencia par es igual a 1 (mod 8), por lo que a(k) = 2
> mod(4), pra todo k >= 1.
>
> entonnces 3^a(k) + 1 = 3^2 + 1 = 0 (mod 10) para todo k >= 2
>
> Y por tanto,
>
> 3^a(k) + 1 = 1 + 1 = 2 para todo k >= 3
>
> Combinado conque a(k) = 1 (mod 3) para todo k >= 1, nos queda que
>
>
> a(k) = 13 (mod 11) , para todo k >= 3


Pierdo el hilo de esta demostración. No sé si actúas igual que en las
famosas
torres, descendiendo y luego ascendiendo.
¿ Por qué sabes que el 3 está elevado a una potencia par ?
¿ Y cómo se deduce de esto que a(k) = 2 (mod 4) ?