"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> escribió en el mensaje
news:6ampt0F35q2a2U1***mid.uni-berlin.de...
>
> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:g242gl$jvs$1***registered.motzarella.org...
>>1 ) Una distribución de Poisson de parámetro "lambda" verifica,
>> para un cierto valor "r" de la variable aleatoria X , que
>> P( X = r ) = P( X = r + 1 ).
>>
>> a) ¿ Qué condición debe verificar "lambda" ?
>>
>> b) Demostrar que r y r+1 son modas de la distribución de X.
>>
> 1) Escribimos la distribución de Poisson como (lambda -> a)
>
> (1) P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)
>
> a) desde P(r) = P (r+1) -> a^r/r! = a^(r+1)/(r+1)! -> a = r+1
> b) Teorema: las modas de la distribución de Poisson para a = entero son a
> y a+1.
> Prueba:
> Tenemos que pruebar los dos relaciones
>
> (*) a^k/k! < a^r/r!=a^(r+1)/(r+1)! k<r
> (**) a^k/k! < a^r/r!=a^(r+1)/(r+1)! k>r+1
>
> (*) significa que (r+1)^j<(r+1+j)!/(r+1)! j=1, 2, ... que es evidente.
> ...
> (no tengo tiempo)

Ya lo acabo yo.

Hemos de ver que (r+1)^k / k! < (r+1)^r / r! para todo k > r+1

Si k > r+1 , existirá un j>1 tal que k = r+j. Entonces :

k! / r! = (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)(r+1) y la desigualdad queda :

(r+1)^k < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)(r+1) (r+1)^r

O sea (r+1)^(k-r-1) < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)

O, (r+1)^(j-1) < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)

que es cierta, pues el producto de la derecha está formado
por j-1 factores cada uno de ellos mayor que r+1.

Saludos,