"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> schrieb im Newsbeitrag
news:6b8iifF37oip4U1***mid.uni-berlin.de...
>
> "Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> schrieb im Newsbeitrag
> news:6b850pF3al16mU1***mid.uni-berlin.de...
>>
>> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>> news:g2m6e0$fct$1***registered.motzarella.org...
>>> 1) Sea X una variable aleatoria continua con función
>>> de densidad f(x) = e^(-x) si x >=0 ( 0 en el resto ).
>>> Si definimos Y del siguiente modo :
>>>
>>> Y = X si X <=1 , Y = 1/X si X >1
>>>
>>> se pide encontrar la función de densidad de Y
>>>
>>> 2) Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme
>>> en (0,1). Determinar la distribución de la variable aleatoria
>>> Y = -2 log(X)
>>>
>>> 3) Supongamos que "n" componentes están funcionando
>>> de forma independiente y conectados en paralelo.
>>> Si el tiempo de duración T(i) de cada componente se
>>> distribuye exponencialmente con parámetro "lambda",
>>> encontrar una expresión para el tiempo medio de fallo
>>> del sistema.
>>>
>>> Saludos,
>>>
>>>
>>
>> Hola,
>>
>> 2) f(y) dy = 1/2 Exp[-y/2] dy
>>
>> Prueba:
>> Tenemos que y=-2Log(x) -> x = Exp(-y/2)
>> Ahora 1.dx = |dx/dy| dy = 1/2 Exp(-y/2) dy
>> QED.
>>
>> 3) Porque los componentes están funcionando en paralelo el tiempo de
>> fallo es el maximo de todos los tiempops t1, ..., tn.
>> La distribución de cada uno es (escribiendo a en vez de lambda)
>>
>> g[t] dt = a Exp[-a t] dt
>>
>> Por tanto hemos que calcular la expresión
>>
>> <Tn> = <max(t1, ..., tn)>
>> = Integrate[ g[t1]...g[tn] max(t1,..,tn) ,{t1,0,oo},...,{tn,0,oo}]
>> = n! Integrate[ g[t1]...g[tn] max(t1,..,tn)
>> ,{t1,0,oo},{t2,0,t1},{t3,0,t2},...,{tn,0,t(n-1)}]
>>
>> Para paqueños valores n he hallado
>>
>> <T> (1,2,3,4,5) = (3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20)
>>
>> pero no he encontrado la fórmula general.
>> Saludos,
>> Wolfgang
> Con respecto de 3)
>
> Como ya había sospechado (porque el problema parece lo de los
> resistores paralelos) son los números harmonicos, o sea
>
> <T(k)> = Sum[1/i,{i,1,k}]
>
> y la distribución del tiempo de fallo T es
>
> h[T] dT = a*k*Exp[(-a*k*T)]*(Exp[a*T] - 1)^(k - 1) dT
>
> Por cierto es bonito y mucho mas fácil calcular es caso de
> componentes en serie, que dejo al lector atente ...
>
> Saludos,
> Wolfgang

Simplificación (3)

Si ponemos p = Exp[- a T] nos queda

h(T) dT = (a k) p (1-p)^(k-1) dT

que podemos interpretar así: (k-1) elementos ya están rotos, el último
restante tiene la distribución exponential.

Para el medio tenemos ahora (dT = - 1/( a p) dp, q=1-p)

<T(k)> = k Integrate[q^(k-1) (-Log(1-q)),{q,0,1}] = HarmonicNumber[k]

pero, desarollando Log[1-q], también Sum[1/(n(n+k),{n,1,oo}] que nos da
la relación interesante

Sum[1/i,{i,1,k}] = Sum[1/(n(n+k),{n,1,oo}]

Saludos,
Wolfgang