On 24 oct, 04:37, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> Ah, vale. No era mi intención restringir ninguna opinón.
> Únicamente quería llamar la atención sobre la persona que resolvió el
> problema y que fue propuesto
> hace un par de días.
> Por supuesto, cualquier aclaración de cualquiera de vosotros será bien
> recibida.
> Saludos,
>
> "Antonio González" <gonfe...***gmail.com> escribió en el mensajenews:5o86ucFleq2iU1***mid.individual.net...
>
>
>
> > Luis escribió:
> >> Hola
>
> > Luis, no es por nada, pero no hace falta que dirijas los mensajes a
> > personas en concreto. Simplemente cuélgate de sus mensajes y opina loque
> > quieras. Así los demás podemos intervenir tranquilamente.
>
> > --
>
> > Antonio- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -


Bueno, mi mensaje anterior era sólo un esbozo de
la solución. Ahora voy a tratar de explicarlo mejor,
comenzando por algunos preliminares.

1) Al multiplicar un número A por 2, o lo que es lo mismo
al sumar A + A, lo más que te puedes llevar es 1. En efecto,
la suma de los dígitos a la derecha es a lo sumo 9+9=18, y
de ahí en adelante en ninguna columna la suma pasará de
9+9+1=19, es decir que si hay acarreo sólo puede ser 1.

2) Si la representación decimal de A es a_k ... a_1 a_0,
entonces al sumar A + A, en la columna i tendremos 2a_i + 1
ó 2a_i, según que me haya llevado 1 o no en la columna i-1.
Es decir que el i-simo dígito de 2A es impar si y sólo si
hubo acarreo en la columna i-1, y el número total de
dígitos impares en 2A es igual al número total de acarreos.

3) Supongamos que al sumar A+A no haya acarreos.
Entonces la representación decimal de 2A es
2a_k ... 2a_1 2a_0, y s(2A) = 2a_k +...+ 2a_1 + 2a_0
= 2(a_k +...+ a_1 + a_0) = 2s(A).
En cambio si hay acarreos, cada uno de ellos hace que s(2A)
disminuya en 9 unidades respecto a 2s(A). En efecto, si
c_0, c_1,...,c_k son los acarreos (que pueden ser 0 ó 1),
entonces los dígitos de 2A serán

c_k, 2a_k - 10c_k +c_{k-1},..., 2a_1 - 10c_1 +c_0, 2a_0 - 10c_0

y por lo tanto s(2A) = 2(a_k +...+ a_0) - 9(c_k +...+ c_0),
es decir que 2s(A) - s(2A) = 9(c_k +...+ c_0)
y el número total de acarreos es
c_k +...+ c_0 = (2s(A) - s(2A))/9.

4) Ahora ya podemos entrar en materia. Como f(2^n) es el
número de dígitos impares en 2^n, por (2) debe ser igual
al número de acarreos que se realizan al sumar 2^{n-1} + 2^{n-1},
y por (3) esto es igual a (2s(2^{n-1}) - s(2^n))/9.
Es decir que

suma(f(2^n)/2^n, n=1 a infinito)
= suma((2s(2^{n-1}) - s(2^n))/(9*2^n), n=1 a infinito)
= (1/9)suma(s(2^{n-1})/2^{n-1} - s(2^n))/2^n, n=1 a infinito)
= 1/9(s(1)/1 - s(2)/2 + s(2)/2 - s(4)/4 + s(4)/4 - s(8)/8 +...)
= 1/9(s(1)) = 1/9.

La convergencia de la serie telescópica
está asegurada ya que 0<= s(2^n) <= 9(log_10(2^n) + 1)
y por tanto s(2^n)/2^n --> 0 para n--> infinito.

Saludos,

jhn