"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:659f7bF2cr86jU1***mid.individual.net...
> Antonio González wrote:
>> Sean las funciones
>>
>> a(x) = 1 + x^3/3! + x^6/6! + ...
>>
>> b(x) = x + x^4/4! + x^7/7! + ...
>>
>> c(x) = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + ...
>>
>> 1) Demostrar la "igualdad fundamental de la trigonometría":
>>
>> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 1
>>
>> 2) Hallar las fórmulas de adición, que dan a(x+y), b(x+y), c(x+y),
>> como funciones de a(x), a(y), b(x), b(y), c(x), c(y).
>
> Se me reinicio el ordenador cuando tenía todos los cálculos transcritos
> ...":^(. Así que ahora resumo:
>
> Llamando w = -1/2 + i*rq(3)/2 y w' = w^2, las otras dos raíces cúnicas de
> la unidad, se tiene que
>
> a(x) = (e^x + e^(wx) + e^(w'x))/3
>
> b(x) = (e^x + w'e^(wx) + we^(w'x))/3
>
> c(x) = (e^x + we^(wx) + w'e^(w'x))/3
>
> Ya no hay más que operar y simplificar, teniendo en cuenta quienes son w y
> w', para obtener la "igualdad fundamental" de la trigonometría de Antonio.
>
> Resolviendo para e^x, e^(wx) y e^(w'x), tenemos que
>
> e(x) = a(x) + b(x) + c(x)
>
> e^(wx) = a(x) + wb(x) + w'c(x)
>
> e^(w'x) = a(x) + w'b(x) + wc(x)
>
> Entonces,
>
> a(x+y) = (e^(x+y) + e^(w(x+y)) + e^(w'(x+y)))/3
>
> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>
> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>
> Sustituyendo ahora las exponenciales por a(x), b(x) y c(x),
>
> a(x+y) = a(x)a(y) + b(x)c(y) + b(y)c(x)
>
> Igualmente
>
> b(x+y) = a(x)b(y) + a(y)b(x) + c(x)c(y)
>
> c(x+y) = a(x)c(y) + a(y)c(x) + b(x)b(y)
>
> De donde se deduce que las tres funciones no son intercambiables. Parece
> que el papel que juega a(x) es disinto del de b(x) y c(x). Salvo error
> posible e incluso probable ...
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
>
Ignacio, ¿ cómo se te ha ocurrido relacionar las exponenciales
de las raíces cúbicas de la unidad con las funciones a(x), b(x) y c(x) ?
Me gustaría ver dicha conexión de una forma natural.....