Luis wrote:
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com>
> escribió en el mensaje news:659f7bF2cr86jU1***mid.individual.net...
>> Antonio González wrote:
>>> Sean las funciones
>>>
>>> a(x) = 1 + x^3/3! + x^6/6! + ...
>>>
>>> b(x) = x + x^4/4! + x^7/7! + ...
>>>
>>> c(x) = x^2/2! + x^5/5! + x^8/8! + ...
>>>
>>> 1) Demostrar la "igualdad fundamental de la trigonometría":
>>>
>>> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 1
>>>
>>> 2) Hallar las fórmulas de adición, que dan a(x+y), b(x+y), c(x+y),
>>> como funciones de a(x), a(y), b(x), b(y), c(x), c(y).
>>
>> Se me reinicio el ordenador cuando tenía todos los cálculos
>> transcritos ...":^(. Así que ahora resumo:
>>
>> Llamando w = -1/2 + i*rq(3)/2 y w' = w^2, las otras dos raíces
>> cúnicas de la unidad, se tiene que
>>
>> a(x) = (e^x + e^(wx) + e^(w'x))/3
>>
>> b(x) = (e^x + w'e^(wx) + we^(w'x))/3
>>
>> c(x) = (e^x + we^(wx) + w'e^(w'x))/3
>>
>> Ya no hay más que operar y simplificar, teniendo en cuenta quienes
>> son w y w', para obtener la "igualdad fundamental" de la
>> trigonometría de Antonio. Resolviendo para e^x, e^(wx) y e^(w'x), tenemos
>> que
>>
>> e(x) = a(x) + b(x) + c(x)
>>
>> e^(wx) = a(x) + wb(x) + w'c(x)
>>
>> e^(w'x) = a(x) + w'b(x) + wc(x)
>>
>> Entonces,
>>
>> a(x+y) = (e^(x+y) + e^(w(x+y)) + e^(w'(x+y)))/3
>>
>> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>>
>> = (e^(x)e^(y) + e^(wx)e^(wy)) + e^(w'x)e^(w'y))/3
>>
>> Sustituyendo ahora las exponenciales por a(x), b(x) y c(x),
>>
>> a(x+y) = a(x)a(y) + b(x)c(y) + b(y)c(x)
>>
>> Igualmente
>>
>> b(x+y) = a(x)b(y) + a(y)b(x) + c(x)c(y)
>>
>> c(x+y) = a(x)c(y) + a(y)c(x) + b(x)b(y)
>>
>> De donde se deduce que las tres funciones no son intercambiables.
>> Parece que el papel que juega a(x) es disinto del de b(x) y c(x).
>> Salvo error posible e incluso probable ...
>>
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>>
>>
> Ignacio, ¿ cómo se te ha ocurrido relacionar las exponenciales
> de las raíces cúbicas de la unidad con las funciones a(x), b(x) y
> c(x) ? Me gustaría ver dicha conexión de una forma natural.....

--
Es la forma natural de separar los términos seguyn el resto módulo 3, en
este caso, de los exponentes. Para separar las pares e impares usas las
raíces cuadradas de 1, 1 y - 1, como en senh y cosh. Y para separarlas
módulo 4, la raíz cuarta de 1, i..

Esto también es útil para sumar numeros combinatorios: Todos (1 + 1)^n, por
separados de índice par e impar (1 - 1)^n, uno de cada tres (1 + w)^n y (1 +
w^2)^n, donde w es la raíz cúbica de la unidad, etc...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com