León-Sotelo wrote:
> Hallar todos los complejos z tales que
> (z+1)^7=z^7 +1
>

De enmtrada, z = 0 y z = - 1. También 1_120º y 1_240º (las muy repetidas
raíces cúbicas de 1, distintas de 1), como se ve de inmediato en forma
polar.

Desarrollando la ecuación,

7z^6 + 21z^5 + 35z^4 + 35z^3 + 21z^2 + 7z = 0

7z(z^5 + 3z^4 + 5z^3 + 5z^2 + 3z + 1) = 0

7z(z + 1)(z^4 + 2z^3 + 3z^2 + 2z + 1) = 0

Como sabemos que z = (-1/2 +/- i*rq(3)/2) son raíces, tenemos que

(z - (-1/2 + i*rq(3)/2) )(z - (-1/2 - i*rq(3)/2)) = z^2 + z + 1

debe ser un factor. Pero justamente,

(z^2 + z + 1)^2 = z^4 + 2z^3 + 3z^2 + 2z + 1

Por lo que solo existen las 4 raíces ya mencionadas:

z = 0, z = -1, z = -1/2 +/- i*rq(3)/2

estas dos últimas dobles. En total 6, puesto que se trata de una ecuación de
6º grado, ya que los términos en z^7 se cancelan.


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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com


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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
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