León-Sotelo escribió:
> Hallar todos los complejos z tales que
> (z+1)^7=z^7 +1
>

Por hacerlo de otra manera a como lo resolví en el 2004.

Esta ecuación equivale a

(z+1)^7 - z^7 = 1

Si hacemos el cambio de variable

z = (t-1)/2

queda

(t + 1)^7 - (t - 1)^7 = 2^7

que tiene claramente las soluciones t = 1 y t = -1. Desarrollando

7t^6 + 35t^4 + 21t^2 + 1 = 64

o, lo que es lo mismo

t^6 + 5t^4 + 3t^2 = 9

haciendo u = t^2

u^3 + 5u^2 + 3u - 9 = 0

como he dicho, u = 1 es una solución, así que factorizamos

1 5 3 -9

1) 1 6 9
---------------
1 6 9 0

luego queda por resolver la ecuación de 2º grado

u^2 + 6u + 9 = 0

o lo que es lo mismo

(u + 3)^2 = 0

con solución u = -3 (doble).

Deshaciendo tenemos, para u

u = -3 (doble)

u = 1

Para t

t = +rq(3)i (doble)

t = -rq(3)i (doble)

t = 1

t = -1

y para z

z = (-1 + rq(3)i)/2 (doble)

z = (-1 - rq(3)i)/2 (doble)

z = 0

z = -1




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Antonio