On 1 abr, 09:32, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Hallar todos los complejos z tales que
> (z+1)^7=z^7 +1
>
> Saludos
> León-Sotelo

Buenos días antes de nada que he estado de vacaciones con mi hijo y
llevaba días sin trabajar.

Por hacer una mínima varaiación:

partiendo de la ecuación :

7z(z + 1)(z^4 + 2z^3 + 3z^2 + 2z + 1) = 0

Dividiendo por z^2 (despues de obviar las raices z = 0 ,z = -1):

z^2 + 2z + 3 + 2/z + 1/z^2 = 0

que es el típico truco para los polinomios de coeficientes simétricos.

Haciendo z + 1/z = t y elevando al cuadrado:

z^2 + 1/z^2 + 2 = t^2

por tanto sustituyendo:

t^2 - 2 + 2t + 3 = 0

t^2 + 2t + 1 = 0

(t + 1)^2 = 0

luego t = -1 es raiz doble y por tanto

z + 1/z = -1

z^2 + 1 = -z

es decir : z^2 + z + 1 = 0

de donde queda claro que las soluciones de

z^4 + 2z^3 + 3z^2 + 2z + 1 = 0

son las dos raices cúbicas de la unidad (distintas de 1) y de forma
doble.

Saludos.