Hallar todas las soluciones reales (x,y) de la ecuación
y^4+2y^2+8x^2+16x^4=24xy-8

Saludos
León-Sotelo

León-Sotelo escribió:
> Hallar todas las soluciones reales (x,y) de la ecuación
> y^4+2y^2+8x^2+16x^4=24xy-8
>

Pasando todo al primer miembro

y^4 + 2y^2 -24xy + 8x^2 + 16x^4 + 8 = 0

Escribamos esta ecuación en la forma

(y^2 + a)^2 + (4x^2 + b)^2 + k(r x + y)^2 = 0

Desarrollando

y^4 + y^2(2a + k) + 2kr xy + (8b + kr^2)x^2 + 16x^4 + (a^2 + b^2) = 0

Igualando términos

2a + k = 2

2kr = -24

8b + kr^2 = 8

a^2 + b^2 = 8

Este sistema admite la solución

a = -2

b = -2

k = 6

r = -2

esto es, la ecuación original equivale a

(y^2 - 2)^2 + (4x^2 - 2)^2 + 6(2x-y)^2 = 0

Como todos los términos son positivos, debe ser

y^2 = 2

x^2 = 1/2

2x = y

con soluciones

x = 1/rq(2) y = rq(2)

x = -1/rq(2) y = rq(2)

--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> Hallar todas las soluciones reales (x,y) de la ecuación
> y^4+2y^2+8x^2+16x^4=24xy-8
>

Pasando todo al primer miembro

y^4 + 2y^2 -24xy + 8x^2 + 16x^4 + 8 = 0

Escribamos esta ecuación en la forma

(y^2 + a)^2 + (4x^2 + b)^2 + k(r x + y)^2 = 0

Desarrollando

y^4 + y^2(2a + k) + 2kr xy + (8b + kr^2)x^2 + 16x^4 + (a^2 + b^2) = 0

Igualando términos

2a + k = 2

2kr = -24

8b + kr^2 = 8

a^2 + b^2 = 8

Este sistema admite la solución

a = -2

b = -2

k = 6

r = -2

esto es, la ecuación original equivale a

(y^2 - 2)^2 + (4x^2 - 2)^2 + 6(2x-y)^2 = 0

Como todos los términos son positivos, debe ser

y^2 = 2

x^2 = 1/2

2x = y

con soluciones

x = 1/rq(2) y = rq(2)

x = -1/rq(2) y = rq(2)

--

Antonio

León-Sotelo escribió:
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> y^4+2y^2+8x^2+16x^4=24xy-8
>

Pasando todo al primer miembro

y^4 + 2y^2 -24xy + 8x^2 + 16x^4 + 8 = 0

Escribamos esta ecuación en la forma

(y^2 + a)^2 + (4x^2 + b)^2 + k(r x + y)^2 = 0

Desarrollando

y^4 + y^2(2a + k) + 2kr xy + (8b + kr^2)x^2 + 16x^4 + (a^2 + b^2) = 0

Igualando términos

2a + k = 2

2kr = -24

8b + kr^2 = 8

a^2 + b^2 = 8

Este sistema admite la solución

a = -2

b = -2

k = 6

r = -2

esto es, la ecuación original equivale a

(y^2 - 2)^2 + (4x^2 - 2)^2 + 6(2x-y)^2 = 0

Como todos los términos son positivos, debe ser

y^2 = 2

x^2 = 1/2

2x = y

con soluciones

x = 1/rq(2) y = rq(2)

x = -1/rq(2) y = rq(2)

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Antonio