i)¿Existe algún triángulo rectángulo de catetos enteros e hipotenusa
sqrt(2006)
ii)¿Cuales son los últimos dos dígitos de 2003^(2005^(2007^2009))
(Ahora que no nos ve Ignacio le he puesto los parentesis)

Saludos
León-Sotelo

On 10 oct, 09:13, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> i)¿Existe algún triángulo rectángulo de catetos enteros e hipotenusa
> sqrt(2006)


(i) Sin utilizar artillería pesada de primos de la forma 4k`+ 1 ó 4k +
3:

Supongamos que existen x,y enteros positivos tales que x^2 + y^2 =
(sqrt(2006))^2 = 2006 = 2·1003

Es claro que x e y tienen la misma paridad;ahora bien,ambos no pueden
ser pares pues entonces el resultado sería múltiplo de 4 y no de 2
como es 2006,luego ambos son impares.
Si ambos son impares:
x = 2a + 1
y = 2b + 1

luego 4a^2 + 4a + 1 + 4b^2 + 4b + 1 = 2006
4a^2 + 4a + 4b^2 + 4b = 2004
a^2 + a + b^2 + b = 501
a(a + 1) + b(b + 1) = 501

Pero a(a + 1) y b(b + 1) son ambos pares.luego su suma sería par lo
cual contradice que pueda valer 501.

Para redondear el resultado es conocido (se atribuye a Fermat) que
solo aquellos enteros en cuya descomposición en factores primos
aparecen los primos de la forma 4k + 3 elevados a potencias pares son
los que se pueden escribir como suma de dos cuadrados.

Saludos.

On 10 oct, 09:13, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> i)¿Existe algún triángulo rectángulo de catetos enteros e hipotenusa
> sqrt(2006)


(i) Sin utilizar artillería pesada de primos de la forma 4k`+ 1 ó 4k +
3:

Supongamos que existen x,y enteros positivos tales que x^2 + y^2 =
(sqrt(2006))^2 = 2006 = 2·1003

Es claro que x e y tienen la misma paridad;ahora bien,ambos no pueden
ser pares pues entonces el resultado sería múltiplo de 4 y no de 2
como es 2006,luego ambos son impares.
Si ambos son impares:
x = 2a + 1
y = 2b + 1

luego 4a^2 + 4a + 1 + 4b^2 + 4b + 1 = 2006
4a^2 + 4a + 4b^2 + 4b = 2004
a^2 + a + b^2 + b = 501
a(a + 1) + b(b + 1) = 501

Pero a(a + 1) y b(b + 1) son ambos pares.luego su suma sería par lo
cual contradice que pueda valer 501.

Para redondear el resultado es conocido (se atribuye a Fermat) que
solo aquellos enteros en cuya descomposición en factores primos
aparecen los primos de la forma 4k + 3 elevados a potencias pares son
los que se pueden escribir como suma de dos cuadrados.

Saludos.

On 10 oct, 09:13, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> i)¿Existe algún triángulo rectángulo de catetos enteros e hipotenusa
> sqrt(2006)


(i) Sin utilizar artillería pesada de primos de la forma 4k`+ 1 ó 4k +
3:

Supongamos que existen x,y enteros positivos tales que x^2 + y^2 =
(sqrt(2006))^2 = 2006 = 2·1003

Es claro que x e y tienen la misma paridad;ahora bien,ambos no pueden
ser pares pues entonces el resultado sería múltiplo de 4 y no de 2
como es 2006,luego ambos son impares.
Si ambos son impares:
x = 2a + 1
y = 2b + 1

luego 4a^2 + 4a + 1 + 4b^2 + 4b + 1 = 2006
4a^2 + 4a + 4b^2 + 4b = 2004
a^2 + a + b^2 + b = 501
a(a + 1) + b(b + 1) = 501

Pero a(a + 1) y b(b + 1) son ambos pares.luego su suma sería par lo
cual contradice que pueda valer 501.

Para redondear el resultado es conocido (se atribuye a Fermat) que
solo aquellos enteros en cuya descomposición en factores primos
aparecen los primos de la forma 4k + 3 elevados a potencias pares son
los que se pueden escribir como suma de dos cuadrados.

Saludos.

On 10 oct, 09:13, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> ii)¿Cuales son los últimos dos dígitos de 2003^(2005^(2007^2009))
> (Ahora que no nos ve Ignacio le he puesto los parentesis)
>
> Saludos
> León-Sotelo

Sabemos que 2003^40 = 1 (mod. 100) por el teorema de Euler-Fermat.
Estudiemos ahora qué ocurre con 2005^(2007^2009) módulo 40.

2005 = 5 (mod.40)

por tanto:

2005^3 = 125 = 5 (mod.40)

Como 2007^2009 es múltiplo de 3:

2005^(2007^2009) = 5^(2007^2009) = 5 (mod.40)

Por tanto:

2003^(2005^(2007^2009)) = 2003^5 = 3^5 = 243 = 43 (mod.100)

Por tanto las dos últimas cifras son 43.

Saludos.

On 10 oct, 09:13, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> ii)¿Cuales son los últimos dos dígitos de 2003^(2005^(2007^2009))
> (Ahora que no nos ve Ignacio le he puesto los parentesis)
>
> Saludos
> León-Sotelo

Sabemos que 2003^40 = 1 (mod. 100) por el teorema de Euler-Fermat.
Estudiemos ahora qué ocurre con 2005^(2007^2009) módulo 40.

2005 = 5 (mod.40)

por tanto:

2005^3 = 125 = 5 (mod.40)

Como 2007^2009 es múltiplo de 3:

2005^(2007^2009) = 5^(2007^2009) = 5 (mod.40)

Por tanto:

2003^(2005^(2007^2009)) = 2003^5 = 3^5 = 243 = 43 (mod.100)

Por tanto las dos últimas cifras son 43.

Saludos.

On 10 oct, 09:13, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> ii)¿Cuales son los últimos dos dígitos de 2003^(2005^(2007^2009))
> (Ahora que no nos ve Ignacio le he puesto los parentesis)
>
> Saludos
> León-Sotelo

Sabemos que 2003^40 = 1 (mod. 100) por el teorema de Euler-Fermat.
Estudiemos ahora qué ocurre con 2005^(2007^2009) módulo 40.

2005 = 5 (mod.40)

por tanto:

2005^3 = 125 = 5 (mod.40)

Como 2007^2009 es múltiplo de 3:

2005^(2007^2009) = 5^(2007^2009) = 5 (mod.40)

Por tanto:

2003^(2005^(2007^2009)) = 2003^5 = 3^5 = 243 = 43 (mod.100)

Por tanto las dos últimas cifras son 43.

Saludos.

León-Sotelo escribió:
> i)¿Existe algún triángulo rectángulo de catetos enteros e hipotenusa
> sqrt(2006)

No.

Solo hay que comprobar 44 números (44 = [rq(2006)])

Position[True, IntegerQ /*** Sqrt[2006 - Range[44]]]

{}


> ii)¿Cuales son los últimos dos dígitos de 2003^(2005^(2007^2009))
> (Ahora que no nos ve Ignacio le he puesto los parentesis)

Es cuestión de ver cuánto es 3^n (mod 100) y nos da el periodo

3, 9, 27, 81, 43, 29, 87, 61, 83, 49, 47, 41, 23, 69, 7, 21, 63, 89, 67, 1,

de longitud 20. Por tanto se trata de ver cuanto es 5^n (mod 20), pero
como cualquiera que haya calculado potencias de 5 todas acaban en 25
(salvo el 5 claro), por tanto 5^n = 5 (mod 20) y

2003^(2005^...) = 3^5 = 43 (mod 100)


--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> i)¿Existe algún triángulo rectángulo de catetos enteros e hipotenusa
> sqrt(2006)

No.

Solo hay que comprobar 44 números (44 = [rq(2006)])

Position[True, IntegerQ /*** Sqrt[2006 - Range[44]]]

{}


> ii)¿Cuales son los últimos dos dígitos de 2003^(2005^(2007^2009))
> (Ahora que no nos ve Ignacio le he puesto los parentesis)

Es cuestión de ver cuánto es 3^n (mod 100) y nos da el periodo

3, 9, 27, 81, 43, 29, 87, 61, 83, 49, 47, 41, 23, 69, 7, 21, 63, 89, 67, 1,

de longitud 20. Por tanto se trata de ver cuanto es 5^n (mod 20), pero
como cualquiera que haya calculado potencias de 5 todas acaban en 25
(salvo el 5 claro), por tanto 5^n = 5 (mod 20) y

2003^(2005^...) = 3^5 = 43 (mod 100)


--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> i)¿Existe algún triángulo rectángulo de catetos enteros e hipotenusa
> sqrt(2006)

No.

Solo hay que comprobar 44 números (44 = [rq(2006)])

Position[True, IntegerQ /*** Sqrt[2006 - Range[44]]]

{}


> ii)¿Cuales son los últimos dos dígitos de 2003^(2005^(2007^2009))
> (Ahora que no nos ve Ignacio le he puesto los parentesis)

Es cuestión de ver cuánto es 3^n (mod 100) y nos da el periodo

3, 9, 27, 81, 43, 29, 87, 61, 83, 49, 47, 41, 23, 69, 7, 21, 63, 89, 67, 1,

de longitud 20. Por tanto se trata de ver cuanto es 5^n (mod 20), pero
como cualquiera que haya calculado potencias de 5 todas acaban en 25
(salvo el 5 claro), por tanto 5^n = 5 (mod 20) y

2003^(2005^...) = 3^5 = 43 (mod 100)


--

Antonio