Cuál sería la solucin general de:

2y(y´+2)=x(y´)^2

????


Gracias

mercedes escribió:
> Cuál sería la solucin general de:
>
> 2y(y´+2)=x(y´)^2
>

Si la escribimos como

y'^2 - 2yy'/x = 4y/x

y convertimos en el cuadrado de una suma

y'^2 - 2yy'/x + y^2/x^2 = 4y/x + y^2/x^2

(y' - y/x)^2 = 4(y/x) + (y/x)^2

Esto sugiere inmediatamente el cambio

y = u x

que da

y' = u' x + u

sustituyendo

x^2 u'^2 = 4u + u^2

x u' = +-rq(4u + u^2)

que es separable

du/(+- rq(4u+u^2)) = dx/x

+-arccosh(1+u/2) = ln(x) + C

Despejando

1 + u/2 = cosh(+-ln(A x)) = ((A x) + 1/(A x))/2

u = A x + 1/(A x) - 2

y = A x^2 - 2x + 1/A

o, más corto

y = (Ax - 1)^2/A
--

Antonio

mercedes escribió:
> Cuál sería la solucin general de:
>
> 2y(y´+2)=x(y´)^2
>

Si la escribimos como

y'^2 - 2yy'/x = 4y/x

y convertimos en el cuadrado de una suma

y'^2 - 2yy'/x + y^2/x^2 = 4y/x + y^2/x^2

(y' - y/x)^2 = 4(y/x) + (y/x)^2

Esto sugiere inmediatamente el cambio

y = u x

que da

y' = u' x + u

sustituyendo

x^2 u'^2 = 4u + u^2

x u' = +-rq(4u + u^2)

que es separable

du/(+- rq(4u+u^2)) = dx/x

+-arccosh(1+u/2) = ln(x) + C

Despejando

1 + u/2 = cosh(+-ln(A x)) = ((A x) + 1/(A x))/2

u = A x + 1/(A x) - 2

y = A x^2 - 2x + 1/A

o, más corto

y = (Ax - 1)^2/A
--

Antonio

mercedes escribió:
> Cuál sería la solucin general de:
>
> 2y(y´+2)=x(y´)^2
>

Si la escribimos como

y'^2 - 2yy'/x = 4y/x

y convertimos en el cuadrado de una suma

y'^2 - 2yy'/x + y^2/x^2 = 4y/x + y^2/x^2

(y' - y/x)^2 = 4(y/x) + (y/x)^2

Esto sugiere inmediatamente el cambio

y = u x

que da

y' = u' x + u

sustituyendo

x^2 u'^2 = 4u + u^2

x u' = +-rq(4u + u^2)

que es separable

du/(+- rq(4u+u^2)) = dx/x

+-arccosh(1+u/2) = ln(x) + C

Despejando

1 + u/2 = cosh(+-ln(A x)) = ((A x) + 1/(A x))/2

u = A x + 1/(A x) - 2

y = A x^2 - 2x + 1/A

o, más corto

y = (Ax - 1)^2/A
--

Antonio