Hola a todos. Hacía tiempo que no venía por aquí (casi dos años creo),
pero ahora he vuelto a estudiar y ando algo perdido, por lo que vuelvo
al grupo que me ayudo a terminar el bachillerato con la esperanza de
que haga lo mismo con la carrera

Vamos al grano. Tengo varios problemas de inducción, algunos a medio
resolver. Más que los resultados me interesa saber el cómo proceder y
el razonamiento, ya que es ahí donde me pierdo (vamos que ahora mismo
no tengo casi ni idea de nada y en cuanto me sacan de ejercicios
similares a los resueltos en ejemplos de libros que he mirado ya me
pierdo).

Pongo uno resuelto por si le véis algún fallo y a ver si me podéis
resolver la duda que tengo en dos de las igualdades:

1.- Sea [ Sn = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 ]. Resolver las siguientes
cuestiones:
a) Inducir de la tabla una fórmula para Sn.
La relación recursiva es Sn = S(n-1) + n^3
La fórmula que he encontrado (a base de prueba y error): Sn
= [ (n(n+1)) / 2]^2
c) Demostrar por inducción matemática la validez de la fórmula
n = 1 -> Sn = [(1*2)/2]^2 = 1
n = n +1 ->
S(n+1) = [( (n+1)(n+2) ) / 2]^2
S(n+1) = Sn + (n+1)^3 = [ (n(n+1)) / 2]^2
+ (n+1)^3 =
aqui no se lo que hace > = ( (n+1)^2 ) ( (n^2/4) + n + 1) =
ni aquí > = ( (n+1)^2 / 4 ) (n+2)^2 = [ ((n
+1) + (n+2)) / 2 ]^2

Ahora uno sin resolver porque no se por donde cogerlo:

2.- Consideremos los números Hn definidos de la siguiente manera: Hn
= 1 + 1/2 + · · · + 1/n

a) Probar, por inducción, que H2^n  >= 1 + n/2 para todo n >= 1

Consejo: Escribir los primeros numeros de la forma H2^n y observar el
número de sumandos de cada uno de ellos

On 12 oct, 17:39, newton <psk.son...***gmail.com> wrote:
> Hola a todos. Hacía tiempo que no venía por aquí (casi dos años creo),
> pero ahora he vuelto a estudiar y ando algo perdido, por lo que vuelvo
> al grupo que me ayudo a terminar el bachillerato con la esperanza de
> que haga lo mismo con la carrera
>
> Vamos al grano. Tengo varios problemas de inducción, algunos a medio
> resolver. Más que los resultados me interesa saber el cómo proceder y
> el razonamiento, ya que es ahí donde me pierdo (vamos que ahora mismo
> no tengo casi ni idea de nada y en cuanto me sacan de ejercicios
> similares a los resueltos en ejemplos de libros que he mirado ya me
> pierdo).
>
> Pongo uno resuelto por si le véis algún fallo y a ver si me podéis
> resolver la duda que tengo en dos de las igualdades:
>
> 1.- Sea [ Sn = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 ]. Resolver las siguientes
> cuestiones:
> a) Inducir de la tabla una fórmula para Sn.
> La relación recursiva es Sn = S(n-1) + n^3
> La fórmula que he encontrado (a base de prueba y error): Sn
> = [ (n(n+1)) / 2]^2
> c) Demostrar por inducción matemática la validez de la fórmula
> n = 1 -> Sn = [(1*2)/2]^2 = 1
> n = n +1 ->
> S(n+1) = [( (n+1)(n+2) ) / 2]^2
> S(n+1) = Sn + (n+1)^3 = [ (n(n+1)) / 2]^2
> + (n+1)^3 =
> aqui no se lo que hace > = ( (n+1)^2 ) ( (n^2/4) + n + 1) =
> ni aquí > = ( (n+1)^2 / 4 ) (n+2)^2 = [ ((n
> +1) + (n+2)) / 2 ]^2
>
> Ahora uno sin resolver porque no se por donde cogerlo:
>
> 2.- Consideremos los números Hn definidos de la siguiente manera: Hn
> = 1 + 1/2 + · · · + 1/n
>
> a) Probar, por inducción, que H2^n >= 1 + n/2 para todo n >= 1
>
> Consejo: Escribir los primeros numeros de la forma H2^n y observar el
> número de sumandos de cada uno de ellos

Suponemos que tu formula se verifica para un cierto valor n (despues
de probar que se verifica para n=1)

1^3 + 2^3 + ... + n^3=n^2(n+1)^2/4
Sumamos (n+1)^3 al primer miembro con lo que debe ser:
1^3 + 2^3 + ... + n^3+(n+1)^3=(n+1)^2(n+2)^2/4 (fórmula para n+1)
Basandonos en la propia hipótesis de inducción
n^2*(n+1)^2/4+(n+1)^3=(n+1)^2*(n+2)^2/4 lo que en efecto se cumple:
(n+1)^2(n^2/4+n+1)=(n+1)^2*(n^2+4n+4)/4=(n+1)^2(n+2)^2/4

Saludos
León-Sotelo

On 12 oct, 17:39, newton <psk.son...***gmail.com> wrote:
> Hola a todos. Hacía tiempo que no venía por aquí (casi dos años creo),
> pero ahora he vuelto a estudiar y ando algo perdido, por lo que vuelvo
> al grupo que me ayudo a terminar el bachillerato con la esperanza de
> que haga lo mismo con la carrera
>
> Vamos al grano. Tengo varios problemas de inducción, algunos a medio
> resolver. Más que los resultados me interesa saber el cómo proceder y
> el razonamiento, ya que es ahí donde me pierdo (vamos que ahora mismo
> no tengo casi ni idea de nada y en cuanto me sacan de ejercicios
> similares a los resueltos en ejemplos de libros que he mirado ya me
> pierdo).
>
> Pongo uno resuelto por si le véis algún fallo y a ver si me podéis
> resolver la duda que tengo en dos de las igualdades:
>
> 1.- Sea [ Sn = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 ]. Resolver las siguientes
> cuestiones:
> a) Inducir de la tabla una fórmula para Sn.
> La relación recursiva es Sn = S(n-1) + n^3
> La fórmula que he encontrado (a base de prueba y error): Sn
> = [ (n(n+1)) / 2]^2
> c) Demostrar por inducción matemática la validez de la fórmula
> n = 1 -> Sn = [(1*2)/2]^2 = 1
> n = n +1 ->
> S(n+1) = [( (n+1)(n+2) ) / 2]^2
> S(n+1) = Sn + (n+1)^3 = [ (n(n+1)) / 2]^2
> + (n+1)^3 =
> aqui no se lo que hace > = ( (n+1)^2 ) ( (n^2/4) + n + 1) =
> ni aquí > = ( (n+1)^2 / 4 ) (n+2)^2 = [ ((n
> +1) + (n+2)) / 2 ]^2
>
> Ahora uno sin resolver porque no se por donde cogerlo:
>
> 2.- Consideremos los números Hn definidos de la siguiente manera: Hn
> = 1 + 1/2 + · · · + 1/n
>
> a) Probar, por inducción, que H2^n >= 1 + n/2 para todo n >= 1
>
> Consejo: Escribir los primeros numeros de la forma H2^n y observar el
> número de sumandos de cada uno de ellos

Suponemos que tu formula se verifica para un cierto valor n (despues
de probar que se verifica para n=1)

1^3 + 2^3 + ... + n^3=n^2(n+1)^2/4
Sumamos (n+1)^3 al primer miembro con lo que debe ser:
1^3 + 2^3 + ... + n^3+(n+1)^3=(n+1)^2(n+2)^2/4 (fórmula para n+1)
Basandonos en la propia hipótesis de inducción
n^2*(n+1)^2/4+(n+1)^3=(n+1)^2*(n+2)^2/4 lo que en efecto se cumple:
(n+1)^2(n^2/4+n+1)=(n+1)^2*(n^2+4n+4)/4=(n+1)^2(n+2)^2/4

Saludos
León-Sotelo

On 12 oct, 17:39, newton <psk.son...***gmail.com> wrote:
> Hola a todos. Hacía tiempo que no venía por aquí (casi dos años creo),
> pero ahora he vuelto a estudiar y ando algo perdido, por lo que vuelvo
> al grupo que me ayudo a terminar el bachillerato con la esperanza de
> que haga lo mismo con la carrera
>
> Vamos al grano. Tengo varios problemas de inducción, algunos a medio
> resolver. Más que los resultados me interesa saber el cómo proceder y
> el razonamiento, ya que es ahí donde me pierdo (vamos que ahora mismo
> no tengo casi ni idea de nada y en cuanto me sacan de ejercicios
> similares a los resueltos en ejemplos de libros que he mirado ya me
> pierdo).
>
> Pongo uno resuelto por si le véis algún fallo y a ver si me podéis
> resolver la duda que tengo en dos de las igualdades:
>
> 1.- Sea [ Sn = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 ]. Resolver las siguientes
> cuestiones:
> a) Inducir de la tabla una fórmula para Sn.
> La relación recursiva es Sn = S(n-1) + n^3
> La fórmula que he encontrado (a base de prueba y error): Sn
> = [ (n(n+1)) / 2]^2
> c) Demostrar por inducción matemática la validez de la fórmula
> n = 1 -> Sn = [(1*2)/2]^2 = 1
> n = n +1 ->
> S(n+1) = [( (n+1)(n+2) ) / 2]^2
> S(n+1) = Sn + (n+1)^3 = [ (n(n+1)) / 2]^2
> + (n+1)^3 =
> aqui no se lo que hace > = ( (n+1)^2 ) ( (n^2/4) + n + 1) =
> ni aquí > = ( (n+1)^2 / 4 ) (n+2)^2 = [ ((n
> +1) + (n+2)) / 2 ]^2
>
> Ahora uno sin resolver porque no se por donde cogerlo:
>
> 2.- Consideremos los números Hn definidos de la siguiente manera: Hn
> = 1 + 1/2 + · · · + 1/n
>
> a) Probar, por inducción, que H2^n >= 1 + n/2 para todo n >= 1
>
> Consejo: Escribir los primeros numeros de la forma H2^n y observar el
> número de sumandos de cada uno de ellos

Suponemos que tu formula se verifica para un cierto valor n (despues
de probar que se verifica para n=1)

1^3 + 2^3 + ... + n^3=n^2(n+1)^2/4
Sumamos (n+1)^3 al primer miembro con lo que debe ser:
1^3 + 2^3 + ... + n^3+(n+1)^3=(n+1)^2(n+2)^2/4 (fórmula para n+1)
Basandonos en la propia hipótesis de inducción
n^2*(n+1)^2/4+(n+1)^3=(n+1)^2*(n+2)^2/4 lo que en efecto se cumple:
(n+1)^2(n^2/4+n+1)=(n+1)^2*(n^2+4n+4)/4=(n+1)^2(n+2)^2/4

Saludos
León-Sotelo

On 12 oct, 19:35, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> On 12 oct, 17:39, newton <psk.son...***gmail.com> wrote:
>
>
>
> > Hola a todos. Hacía tiempo que no venía por aquí (casi dos añoscreo),
> > pero ahora he vuelto a estudiar y ando algo perdido, por lo que vuelvo
> > al grupo que me ayudo a terminar el bachillerato con la esperanza de
> > que haga lo mismo con la carrera
>
> > Vamos al grano. Tengo varios problemas de inducción, algunos a medio
> > resolver. Más que los resultados me interesa saber el cómo procedery
> > el razonamiento, ya que es ahí donde me pierdo (vamos que ahora mismo
> > no tengo casi ni idea de nada y en cuanto me sacan de ejercicios
> > similares a los resueltos en ejemplos de libros que he mirado ya me
> > pierdo).
>
> > Pongo uno resuelto por si le véis algún fallo y a ver si me podéis
> > resolver la duda que tengo en dos de las igualdades:
>
> > 1.- Sea [ Sn = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 ]. Resolver las siguientes
> > cuestiones:
> > a) Inducir de la tabla una fórmula para Sn.
> > La relación recursiva es Sn = S(n-1) + n^3
> > La fórmula que he encontrado (a base de prueba y error): Sn
> > = [ (n(n+1)) / 2]^2
> > c) Demostrar por inducción matemática la validez de la fórmula
> > n = 1 -> Sn = [(1*2)/2]^2 = 1
> > n = n +1 ->
> > S(n+1) = [( (n+1)(n+2) ) / 2]^2
> > S(n+1) = Sn + (n+1)^3 = [ (n(n+1)) / 2]^2
> > + (n+1)^3 =
> > aqui no se lo que hace > = ( (n+1)^2 ) ( (n^2/4) + n + 1) =
> > ni aquí > = ( (n+1)^2 / 4 ) (n+2)^2 = [ ((n
> > +1) + (n+2)) / 2 ]^2
>
> > Ahora uno sin resolver porque no se por donde cogerlo:
>
> > 2.- Consideremos los números Hn definidos de la siguiente manera: Hn
> > = 1 + 1/2 + · · · + 1/n
>
> > a) Probar, por inducción, que H2^n >= 1 + n/2 para todo n >= 1
>
> > Consejo: Escribir los primeros numeros de la forma H2^n y observar el
> > número de sumandos de cada uno de ellos
>
> Suponemos que tu formula se verifica para un cierto valor n (despues
> de probar que se verifica para n=1)
>
> 1^3 + 2^3 + ... + n^3=n^2(n+1)^2/4
> Sumamos (n+1)^3 al primer miembro con lo que debe ser:
> 1^3 + 2^3 + ... + n^3+(n+1)^3=(n+1)^2(n+2)^2/4 (fórmula para n+1)
> Basandonos en la propia hipótesis de inducción
> n^2*(n+1)^2/4+(n+1)^3=(n+1)^2*(n+2)^2/4 lo que en efecto se cumple:
> (n+1)^2(n^2/4+n+1)=(n+1)^2*(n^2+4n+4)/4=(n+1)^2(n+2)^2/4
>
> Saludos
> León-Sotelo

No termino de ver cómo se simplifica la ecuación al pasar a este paso:
"lo que en efecto se cumple:
(n+1)^2(n^2/4+n+1)=(n+1)^2*(n^2+4n+4)/4=(n+1)^2(n+2)^2/4 "

¿de dónde sale el (n+1)^2(n^2/4+n+1)? Supongo que del (n+1)^2*(n
+2)^2/4,
¿pero qué criterios se aplican para esa transformación?

On 12 oct, 19:35, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> On 12 oct, 17:39, newton <psk.son...***gmail.com> wrote:
>
>
>
> > Hola a todos. Hacía tiempo que no venía por aquí (casi dos añoscreo),
> > pero ahora he vuelto a estudiar y ando algo perdido, por lo que vuelvo
> > al grupo que me ayudo a terminar el bachillerato con la esperanza de
> > que haga lo mismo con la carrera
>
> > Vamos al grano. Tengo varios problemas de inducción, algunos a medio
> > resolver. Más que los resultados me interesa saber el cómo procedery
> > el razonamiento, ya que es ahí donde me pierdo (vamos que ahora mismo
> > no tengo casi ni idea de nada y en cuanto me sacan de ejercicios
> > similares a los resueltos en ejemplos de libros que he mirado ya me
> > pierdo).
>
> > Pongo uno resuelto por si le véis algún fallo y a ver si me podéis
> > resolver la duda que tengo en dos de las igualdades:
>
> > 1.- Sea [ Sn = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 ]. Resolver las siguientes
> > cuestiones:
> > a) Inducir de la tabla una fórmula para Sn.
> > La relación recursiva es Sn = S(n-1) + n^3
> > La fórmula que he encontrado (a base de prueba y error): Sn
> > = [ (n(n+1)) / 2]^2
> > c) Demostrar por inducción matemática la validez de la fórmula
> > n = 1 -> Sn = [(1*2)/2]^2 = 1
> > n = n +1 ->
> > S(n+1) = [( (n+1)(n+2) ) / 2]^2
> > S(n+1) = Sn + (n+1)^3 = [ (n(n+1)) / 2]^2
> > + (n+1)^3 =
> > aqui no se lo que hace > = ( (n+1)^2 ) ( (n^2/4) + n + 1) =
> > ni aquí > = ( (n+1)^2 / 4 ) (n+2)^2 = [ ((n
> > +1) + (n+2)) / 2 ]^2
>
> > Ahora uno sin resolver porque no se por donde cogerlo:
>
> > 2.- Consideremos los números Hn definidos de la siguiente manera: Hn
> > = 1 + 1/2 + · · · + 1/n
>
> > a) Probar, por inducción, que H2^n >= 1 + n/2 para todo n >= 1
>
> > Consejo: Escribir los primeros numeros de la forma H2^n y observar el
> > número de sumandos de cada uno de ellos
>
> Suponemos que tu formula se verifica para un cierto valor n (despues
> de probar que se verifica para n=1)
>
> 1^3 + 2^3 + ... + n^3=n^2(n+1)^2/4
> Sumamos (n+1)^3 al primer miembro con lo que debe ser:
> 1^3 + 2^3 + ... + n^3+(n+1)^3=(n+1)^2(n+2)^2/4 (fórmula para n+1)
> Basandonos en la propia hipótesis de inducción
> n^2*(n+1)^2/4+(n+1)^3=(n+1)^2*(n+2)^2/4 lo que en efecto se cumple:
> (n+1)^2(n^2/4+n+1)=(n+1)^2*(n^2+4n+4)/4=(n+1)^2(n+2)^2/4
>
> Saludos
> León-Sotelo

No termino de ver cómo se simplifica la ecuación al pasar a este paso:
"lo que en efecto se cumple:
(n+1)^2(n^2/4+n+1)=(n+1)^2*(n^2+4n+4)/4=(n+1)^2(n+2)^2/4 "

¿de dónde sale el (n+1)^2(n^2/4+n+1)? Supongo que del (n+1)^2*(n
+2)^2/4,
¿pero qué criterios se aplican para esa transformación?

On 12 oct, 19:35, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> On 12 oct, 17:39, newton <psk.son...***gmail.com> wrote:
>
>
>
> > Hola a todos. Hacía tiempo que no venía por aquí (casi dos añoscreo),
> > pero ahora he vuelto a estudiar y ando algo perdido, por lo que vuelvo
> > al grupo que me ayudo a terminar el bachillerato con la esperanza de
> > que haga lo mismo con la carrera
>
> > Vamos al grano. Tengo varios problemas de inducción, algunos a medio
> > resolver. Más que los resultados me interesa saber el cómo procedery
> > el razonamiento, ya que es ahí donde me pierdo (vamos que ahora mismo
> > no tengo casi ni idea de nada y en cuanto me sacan de ejercicios
> > similares a los resueltos en ejemplos de libros que he mirado ya me
> > pierdo).
>
> > Pongo uno resuelto por si le véis algún fallo y a ver si me podéis
> > resolver la duda que tengo en dos de las igualdades:
>
> > 1.- Sea [ Sn = 1^3 + 2^3 + ... + n^3 ]. Resolver las siguientes
> > cuestiones:
> > a) Inducir de la tabla una fórmula para Sn.
> > La relación recursiva es Sn = S(n-1) + n^3
> > La fórmula que he encontrado (a base de prueba y error): Sn
> > = [ (n(n+1)) / 2]^2
> > c) Demostrar por inducción matemática la validez de la fórmula
> > n = 1 -> Sn = [(1*2)/2]^2 = 1
> > n = n +1 ->
> > S(n+1) = [( (n+1)(n+2) ) / 2]^2
> > S(n+1) = Sn + (n+1)^3 = [ (n(n+1)) / 2]^2
> > + (n+1)^3 =
> > aqui no se lo que hace > = ( (n+1)^2 ) ( (n^2/4) + n + 1) =
> > ni aquí > = ( (n+1)^2 / 4 ) (n+2)^2 = [ ((n
> > +1) + (n+2)) / 2 ]^2
>
> > Ahora uno sin resolver porque no se por donde cogerlo:
>
> > 2.- Consideremos los números Hn definidos de la siguiente manera: Hn
> > = 1 + 1/2 + · · · + 1/n
>
> > a) Probar, por inducción, que H2^n >= 1 + n/2 para todo n >= 1
>
> > Consejo: Escribir los primeros numeros de la forma H2^n y observar el
> > número de sumandos de cada uno de ellos
>
> Suponemos que tu formula se verifica para un cierto valor n (despues
> de probar que se verifica para n=1)
>
> 1^3 + 2^3 + ... + n^3=n^2(n+1)^2/4
> Sumamos (n+1)^3 al primer miembro con lo que debe ser:
> 1^3 + 2^3 + ... + n^3+(n+1)^3=(n+1)^2(n+2)^2/4 (fórmula para n+1)
> Basandonos en la propia hipótesis de inducción
> n^2*(n+1)^2/4+(n+1)^3=(n+1)^2*(n+2)^2/4 lo que en efecto se cumple:
> (n+1)^2(n^2/4+n+1)=(n+1)^2*(n^2+4n+4)/4=(n+1)^2(n+2)^2/4
>
> Saludos
> León-Sotelo

No termino de ver cómo se simplifica la ecuación al pasar a este paso:
"lo que en efecto se cumple:
(n+1)^2(n^2/4+n+1)=(n+1)^2*(n^2+4n+4)/4=(n+1)^2(n+2)^2/4 "

¿de dónde sale el (n+1)^2(n^2/4+n+1)? Supongo que del (n+1)^2*(n
+2)^2/4,
¿pero qué criterios se aplican para esa transformación?