Estos no me los he mirado aún, pero si me váis dando una orientación
mejor:

1.- Considerar la sucesión de Fibonacci definida por F1 = 1, F2 = 1,
Fn = Fn−1 + Fn−2. Probar, por inducción en n, que F3n es par
para cualquiera n natural.


2.- Consideremos la sucesión definida por a1 = 1, a2 = 3, an =an−1 +
an−2
(una variante de la de Fibonacci). Probar, por inducción completa en
n, que
an < (7/4)^n para todo n natural.


Gracias de antemano

newton escribió:
> Estos no me los he mirado aún, pero si me váis dando una orientación
> mejor:
>
> 1.- Considerar la sucesión de Fibonacci definida por F1 = 1, F2 = 1,
> Fn = Fn−1 + Fn−2. Probar, por inducción en n, que F3n es par
> para cualquiera n natural.
>
>

Consideremos esta sucesión módulo 2 (esto es, teniendo en cuenta sólo si
son pares o impares)

Tenemos

F(1) = 1 (mod 2)
F(2) = 1 (mod 2)
F(3) = 0 (mod 2)
F(4) = 1 (mod 2)
F(5) = 1 (mod 2)
F(6) = 0 (mod 2)

Hacemos entonces la hipótesis

F(3n) = 0 (mod 2)
F(3n+1) = 1 (mod 2)
F(3n+2) = 1 (mod 2)

que se cumple para n = 0 y la suponemos cierta para n = n. Vemos el caso n+1

F(3n+3) = F(3n+2) + F(3n+1) = 0 (mod 2)
F(3n+4) = F(3n+3) + F(3n+2) = 1 (mod 2)
F(3n+5) = F(3n+4) + F(3n+3) = 1 (mod 2)

y ya está demostrado.

Otra posibilidad, más complicada, es analizar qué recurrencia cumplen
los F(3n)

F(0) = 0
F(3) = 2

Por un lado tenemos

F(3n) = F(3n-1) + F(3n-2) = 2F(3n-2) + F(3n-3) = 3F(3n-3) + 2F(3n-4) =

= 3F(3n-3) + 2F(3n-5) + 2F(3n-6)

y por otro

F(3n-3) = F(3n-4) + F(3n-5) = 2F(3n-5) + F(3n-6)

Restando estas dos expresiones

F(3n) - F(3n-3) = 3F(3n-3) + F(3n-6)

esto es

F(3n) = 4F(3n-3) + F(3n-6)

AsÃ***

F(6) = 4F(3) = 8

F(9) = 4*8 + 2 = 34

Por inducción es inmediato que si los dos primeros términos de la
secuencia F(3n) son pares, todos los demás son pares también.


--
Antonio

newton escribió:
> Estos no me los he mirado aún, pero si me váis dando una orientación
> mejor:
>
> 1.- Considerar la sucesión de Fibonacci definida por F1 = 1, F2 = 1,
> Fn = Fn−1 + Fn−2. Probar, por inducción en n, que F3n es par
> para cualquiera n natural.
>
>

Consideremos esta sucesión módulo 2 (esto es, teniendo en cuenta sólo si
son pares o impares)

Tenemos

F(1) = 1 (mod 2)
F(2) = 1 (mod 2)
F(3) = 0 (mod 2)
F(4) = 1 (mod 2)
F(5) = 1 (mod 2)
F(6) = 0 (mod 2)

Hacemos entonces la hipótesis

F(3n) = 0 (mod 2)
F(3n+1) = 1 (mod 2)
F(3n+2) = 1 (mod 2)

que se cumple para n = 0 y la suponemos cierta para n = n. Vemos el caso n+1

F(3n+3) = F(3n+2) + F(3n+1) = 0 (mod 2)
F(3n+4) = F(3n+3) + F(3n+2) = 1 (mod 2)
F(3n+5) = F(3n+4) + F(3n+3) = 1 (mod 2)

y ya está demostrado.

Otra posibilidad, más complicada, es analizar qué recurrencia cumplen
los F(3n)

F(0) = 0
F(3) = 2

Por un lado tenemos

F(3n) = F(3n-1) + F(3n-2) = 2F(3n-2) + F(3n-3) = 3F(3n-3) + 2F(3n-4) =

= 3F(3n-3) + 2F(3n-5) + 2F(3n-6)

y por otro

F(3n-3) = F(3n-4) + F(3n-5) = 2F(3n-5) + F(3n-6)

Restando estas dos expresiones

F(3n) - F(3n-3) = 3F(3n-3) + F(3n-6)

esto es

F(3n) = 4F(3n-3) + F(3n-6)

AsÃ***

F(6) = 4F(3) = 8

F(9) = 4*8 + 2 = 34

Por inducción es inmediato que si los dos primeros términos de la
secuencia F(3n) son pares, todos los demás son pares también.


--
Antonio

newton escribió:
> Estos no me los he mirado aún, pero si me váis dando una orientación
> mejor:
>
> 1.- Considerar la sucesión de Fibonacci definida por F1 = 1, F2 = 1,
> Fn = Fn−1 + Fn−2. Probar, por inducción en n, que F3n es par
> para cualquiera n natural.
>
>

Consideremos esta sucesión módulo 2 (esto es, teniendo en cuenta sólo si
son pares o impares)

Tenemos

F(1) = 1 (mod 2)
F(2) = 1 (mod 2)
F(3) = 0 (mod 2)
F(4) = 1 (mod 2)
F(5) = 1 (mod 2)
F(6) = 0 (mod 2)

Hacemos entonces la hipótesis

F(3n) = 0 (mod 2)
F(3n+1) = 1 (mod 2)
F(3n+2) = 1 (mod 2)

que se cumple para n = 0 y la suponemos cierta para n = n. Vemos el caso n+1

F(3n+3) = F(3n+2) + F(3n+1) = 0 (mod 2)
F(3n+4) = F(3n+3) + F(3n+2) = 1 (mod 2)
F(3n+5) = F(3n+4) + F(3n+3) = 1 (mod 2)

y ya está demostrado.

Otra posibilidad, más complicada, es analizar qué recurrencia cumplen
los F(3n)

F(0) = 0
F(3) = 2

Por un lado tenemos

F(3n) = F(3n-1) + F(3n-2) = 2F(3n-2) + F(3n-3) = 3F(3n-3) + 2F(3n-4) =

= 3F(3n-3) + 2F(3n-5) + 2F(3n-6)

y por otro

F(3n-3) = F(3n-4) + F(3n-5) = 2F(3n-5) + F(3n-6)

Restando estas dos expresiones

F(3n) - F(3n-3) = 3F(3n-3) + F(3n-6)

esto es

F(3n) = 4F(3n-3) + F(3n-6)

AsÃ***

F(6) = 4F(3) = 8

F(9) = 4*8 + 2 = 34

Por inducción es inmediato que si los dos primeros términos de la
secuencia F(3n) son pares, todos los demás son pares también.


--
Antonio

newton escribió:

>
> 2.- Consideremos la sucesión definida por a1 = 1, a2 = 3, an = an−1 +
> an−2
> (una variante de la de Fibonacci).

Estos se llaman los números de Lucas.


--
Antonio

newton escribió:

>
> 2.- Consideremos la sucesión definida por a1 = 1, a2 = 3, an = an−1 +
> an−2
> (una variante de la de Fibonacci).

Estos se llaman los números de Lucas.


--
Antonio

newton escribió:

>
> 2.- Consideremos la sucesión definida por a1 = 1, a2 = 3, an = an−1 +
> an−2
> (una variante de la de Fibonacci).

Estos se llaman los números de Lucas.


--
Antonio

> Antonio González wrote:
>
> Consideremos esta sucesión módulo 2 (esto es, teniendo en cuenta sólo si
> son pares o impares)
>
> Tenemos
>
> F(1) = 1 (mod 2)
> F(2) = 1 (mod 2)
> F(3) = 0 (mod 2)
> F(4) = 1 (mod 2)
> F(5) = 1 (mod 2)
> F(6) = 0 (mod 2)
>
> Hacemos entonces la hipótesis
>
> F(3n) = 0 (mod 2)
> F(3n+1) = 1 (mod 2)
> F(3n+2) = 1 (mod 2)
>
> que se cumple para n = 0 y la suponemos cierta para n = n. Vemos el caso n+1
>
> F(3n+3) = F(3n+2) + F(3n+1) = 0 (mod 2)
> F(3n+4) = F(3n+3) + F(3n+2) = 1 (mod 2)
> F(3n+5) = F(3n+4) + F(3n+3) = 1 (mod 2)
>
> y ya está demostrado.
>
> Otra posibilidad, más complicada, es analizar qué recurrencia cumplen
> los F(3n)
>
> F(0) = 0
> F(3) = 2
>
> Por un lado tenemos
>
> F(3n) = F(3n-1) + F(3n-2) = 2F(3n-2) + F(3n-3) = 3F(3n-3) + 2F(3n-4) =
>
> = 3F(3n-3) + 2F(3n-5) + 2F(3n-6)
>
> y por otro
>
> F(3n-3) = F(3n-4) + F(3n-5) = 2F(3n-5) + F(3n-6)
>
> Restando estas dos expresiones
>
> F(3n) - F(3n-3) = 3F(3n-3) + F(3n-6)
>
> esto es
>
> F(3n) = 4F(3n-3) + F(3n-6)
>
> Así
>
> F(6) = 4F(3) = 8
>
> F(9) = 4*8 + 2 = 34
>
> Por inducción es inmediato que si los dos primeros términos de la
> secuencia F(3n) son pares, todos los demás son pares también.
>
> --
> Antonio

¡Gracias! Debo de ser medio gilipollas pero no me he enterado muy bien
del tema. Confío en que mañana me levante inspirado y sea cuestión de
leerlo un par de veces más (ahora vengo de una boda xD).

PD [OT]: cuando cito un texto, ¿mi respuesta la pongo arriba o abajo?

> Antonio González wrote:
>
> Consideremos esta sucesión módulo 2 (esto es, teniendo en cuenta sólo si
> son pares o impares)
>
> Tenemos
>
> F(1) = 1 (mod 2)
> F(2) = 1 (mod 2)
> F(3) = 0 (mod 2)
> F(4) = 1 (mod 2)
> F(5) = 1 (mod 2)
> F(6) = 0 (mod 2)
>
> Hacemos entonces la hipótesis
>
> F(3n) = 0 (mod 2)
> F(3n+1) = 1 (mod 2)
> F(3n+2) = 1 (mod 2)
>
> que se cumple para n = 0 y la suponemos cierta para n = n. Vemos el caso n+1
>
> F(3n+3) = F(3n+2) + F(3n+1) = 0 (mod 2)
> F(3n+4) = F(3n+3) + F(3n+2) = 1 (mod 2)
> F(3n+5) = F(3n+4) + F(3n+3) = 1 (mod 2)
>
> y ya está demostrado.
>
> Otra posibilidad, más complicada, es analizar qué recurrencia cumplen
> los F(3n)
>
> F(0) = 0
> F(3) = 2
>
> Por un lado tenemos
>
> F(3n) = F(3n-1) + F(3n-2) = 2F(3n-2) + F(3n-3) = 3F(3n-3) + 2F(3n-4) =
>
> = 3F(3n-3) + 2F(3n-5) + 2F(3n-6)
>
> y por otro
>
> F(3n-3) = F(3n-4) + F(3n-5) = 2F(3n-5) + F(3n-6)
>
> Restando estas dos expresiones
>
> F(3n) - F(3n-3) = 3F(3n-3) + F(3n-6)
>
> esto es
>
> F(3n) = 4F(3n-3) + F(3n-6)
>
> Así
>
> F(6) = 4F(3) = 8
>
> F(9) = 4*8 + 2 = 34
>
> Por inducción es inmediato que si los dos primeros términos de la
> secuencia F(3n) son pares, todos los demás son pares también.
>
> --
> Antonio

¡Gracias! Debo de ser medio gilipollas pero no me he enterado muy bien
del tema. Confío en que mañana me levante inspirado y sea cuestión de
leerlo un par de veces más (ahora vengo de una boda xD).

PD [OT]: cuando cito un texto, ¿mi respuesta la pongo arriba o abajo?

> Antonio González wrote:
>
> Consideremos esta sucesión módulo 2 (esto es, teniendo en cuenta sólo si
> son pares o impares)
>
> Tenemos
>
> F(1) = 1 (mod 2)
> F(2) = 1 (mod 2)
> F(3) = 0 (mod 2)
> F(4) = 1 (mod 2)
> F(5) = 1 (mod 2)
> F(6) = 0 (mod 2)
>
> Hacemos entonces la hipótesis
>
> F(3n) = 0 (mod 2)
> F(3n+1) = 1 (mod 2)
> F(3n+2) = 1 (mod 2)
>
> que se cumple para n = 0 y la suponemos cierta para n = n. Vemos el caso n+1
>
> F(3n+3) = F(3n+2) + F(3n+1) = 0 (mod 2)
> F(3n+4) = F(3n+3) + F(3n+2) = 1 (mod 2)
> F(3n+5) = F(3n+4) + F(3n+3) = 1 (mod 2)
>
> y ya está demostrado.
>
> Otra posibilidad, más complicada, es analizar qué recurrencia cumplen
> los F(3n)
>
> F(0) = 0
> F(3) = 2
>
> Por un lado tenemos
>
> F(3n) = F(3n-1) + F(3n-2) = 2F(3n-2) + F(3n-3) = 3F(3n-3) + 2F(3n-4) =
>
> = 3F(3n-3) + 2F(3n-5) + 2F(3n-6)
>
> y por otro
>
> F(3n-3) = F(3n-4) + F(3n-5) = 2F(3n-5) + F(3n-6)
>
> Restando estas dos expresiones
>
> F(3n) - F(3n-3) = 3F(3n-3) + F(3n-6)
>
> esto es
>
> F(3n) = 4F(3n-3) + F(3n-6)
>
> Así
>
> F(6) = 4F(3) = 8
>
> F(9) = 4*8 + 2 = 34
>
> Por inducción es inmediato que si los dos primeros términos de la
> secuencia F(3n) son pares, todos los demás son pares también.
>
> --
> Antonio

¡Gracias! Debo de ser medio gilipollas pero no me he enterado muy bien
del tema. Confío en que mañana me levante inspirado y sea cuestión de
leerlo un par de veces más (ahora vengo de una boda xD).

PD [OT]: cuando cito un texto, ¿mi respuesta la pongo arriba o abajo?