Con la notación habitual para triángulos sea m(X) la mediana que parte
del vértice X y w(X) la bisectriz interior que parte del vértice X.
Si m(A) = (rq(3)/2)b y w(C) = (rq(3)/2)c demostrar que el triángulo es
equilátero.

Saludos.

On 16 oct, 07:40, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Con la notación habitual para triángulos sea m(X) la mediana que parte
> del vértice X y w(X) la bisectriz interior que parte del vértice X.
> Si m(A) = (rq(3)/2)b y w(C) = (rq(3)/2)c demostrar que el triánguloes
> equilátero.
>
> Saludos.

Como m(A)^2 = (b^2 + c^2)/2 - a^2/4 =(3/4)b^2

resulta a^2 + b^2 = 2c^2, y entonces

m(C)^2 = (a^2 + b^2)/2 - c^2/4 = (3/4)c^2 = w(C)^2,

de donde m(C) = w(C). De aquí se sigue que la mediana y la bisectriz
desde C coinciden entre sí y con la altura (la otra posibilidad es que
ambas fuesen simétricas respecto a la altura, y esto se descarta
fácilmente) y el triángulo es isósceles (a=b). Y como la altura es
(rq(3)/2)c, es equilátero.

jhn

On 16 oct, 07:40, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Con la notación habitual para triángulos sea m(X) la mediana que parte
> del vértice X y w(X) la bisectriz interior que parte del vértice X.
> Si m(A) = (rq(3)/2)b y w(C) = (rq(3)/2)c demostrar que el triánguloes
> equilátero.
>
> Saludos.

Como m(A)^2 = (b^2 + c^2)/2 - a^2/4 =(3/4)b^2

resulta a^2 + b^2 = 2c^2, y entonces

m(C)^2 = (a^2 + b^2)/2 - c^2/4 = (3/4)c^2 = w(C)^2,

de donde m(C) = w(C). De aquí se sigue que la mediana y la bisectriz
desde C coinciden entre sí y con la altura (la otra posibilidad es que
ambas fuesen simétricas respecto a la altura, y esto se descarta
fácilmente) y el triángulo es isósceles (a=b). Y como la altura es
(rq(3)/2)c, es equilátero.

jhn

On 16 oct, 07:40, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Con la notación habitual para triángulos sea m(X) la mediana que parte
> del vértice X y w(X) la bisectriz interior que parte del vértice X.
> Si m(A) = (rq(3)/2)b y w(C) = (rq(3)/2)c demostrar que el triánguloes
> equilátero.
>
> Saludos.

Como m(A)^2 = (b^2 + c^2)/2 - a^2/4 =(3/4)b^2

resulta a^2 + b^2 = 2c^2, y entonces

m(C)^2 = (a^2 + b^2)/2 - c^2/4 = (3/4)c^2 = w(C)^2,

de donde m(C) = w(C). De aquí se sigue que la mediana y la bisectriz
desde C coinciden entre sí y con la altura (la otra posibilidad es que
ambas fuesen simétricas respecto a la altura, y esto se descarta
fácilmente) y el triángulo es isósceles (a=b). Y como la altura es
(rq(3)/2)c, es equilátero.

jhn

<jhnieto***gmail.com> escribió en el mensaje
news:1192552061.237618.124630***v29g2000prd.googlegr oups.com...
On 16 oct, 07:40, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Con la notación habitual para triángulos sea m(X) la mediana que parte
> del vértice X y w(X) la bisectriz interior que parte del vértice X.
> Si m(A) = (rq(3)/2)b y w(C) = (rq(3)/2)c demostrar que el triángulo es
> equilátero.
>
> Saludos.

Como m(A)^2 = (b^2 + c^2)/2 - a^2/4 =(3/4)b^2

resulta a^2 + b^2 = 2c^2, y entonces

m(C)^2 = (a^2 + b^2)/2 - c^2/4 = (3/4)c^2 = w(C)^2,

de donde m(C) = w(C). De aquí se sigue que la mediana y la bisectriz
desde C coinciden entre sí y con la altura (la otra posibilidad es que
ambas fuesen simétricas respecto a la altura, y esto se descarta
fácilmente) y el triángulo es isósceles (a=b). Y como la altura es
(rq(3)/2)c, es equilátero.

No entiendo bien el remate del problema.

Si m(C) = w(C), aplicando el Teorema del coseno se tiene :

(c/2)^2 = w(C)^2 + b^2 - 2w(C)b cos (C/2)
(c/2)^2 = w(C)^2 + a^2 - 2w(C)a cos (C/2)

Por lo que b^2 - a^2 = 2w(C)(b-a)cos( C/2 ) (#1)

Una posibilidad es a = b ( y la igualdad (#1) queda reducidad a 0 = 0 )
y como se ha probado que 2c^2 = a^2 + b^2 , entonces a = b = c .

La otra posibilidad es que "a" sea distinto de "b". Dividiendo en (#1)
entre b-a, resulta a+b = 2w(C)cos(C/2)

Luego, cos (C/2) = (a+b)/2w(C) = (a+b)/(sqrt(3)c)

Nuevamente, por el Teorema del coseno :

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C y como 2c^2 = a^2 + b^2
es cos C = c^2 / 2ab

Pero cos C = cos 2(C/2) = cos^2(C/2) - sen^2(C/2) = 2cos^2(C/2) - 1

Así que, c^2 / 2ab = 2( (a+b)/(sqrt(3)c) )^2 - 1

De aquí, ( y siempre teniendo en cuenta que 2c^2 = a^2+b^2 )
sólo puede derivarse que c^2 = 2ab

Luego, el triángulo tendría los tres lados distintos verificándose
la relación c^2 = 2ab.
¿ Por qué descartar esta posibilidad ?

Saludos,

<jhnieto***gmail.com> escribió en el mensaje
news:1192552061.237618.124630***v29g2000prd.googlegr oups.com...
On 16 oct, 07:40, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Con la notación habitual para triángulos sea m(X) la mediana que parte
> del vértice X y w(X) la bisectriz interior que parte del vértice X.
> Si m(A) = (rq(3)/2)b y w(C) = (rq(3)/2)c demostrar que el triángulo es
> equilátero.
>
> Saludos.

Como m(A)^2 = (b^2 + c^2)/2 - a^2/4 =(3/4)b^2

resulta a^2 + b^2 = 2c^2, y entonces

m(C)^2 = (a^2 + b^2)/2 - c^2/4 = (3/4)c^2 = w(C)^2,

de donde m(C) = w(C). De aquí se sigue que la mediana y la bisectriz
desde C coinciden entre sí y con la altura (la otra posibilidad es que
ambas fuesen simétricas respecto a la altura, y esto se descarta
fácilmente) y el triángulo es isósceles (a=b). Y como la altura es
(rq(3)/2)c, es equilátero.

No entiendo bien el remate del problema.

Si m(C) = w(C), aplicando el Teorema del coseno se tiene :

(c/2)^2 = w(C)^2 + b^2 - 2w(C)b cos (C/2)
(c/2)^2 = w(C)^2 + a^2 - 2w(C)a cos (C/2)

Por lo que b^2 - a^2 = 2w(C)(b-a)cos( C/2 ) (#1)

Una posibilidad es a = b ( y la igualdad (#1) queda reducidad a 0 = 0 )
y como se ha probado que 2c^2 = a^2 + b^2 , entonces a = b = c .

La otra posibilidad es que "a" sea distinto de "b". Dividiendo en (#1)
entre b-a, resulta a+b = 2w(C)cos(C/2)

Luego, cos (C/2) = (a+b)/2w(C) = (a+b)/(sqrt(3)c)

Nuevamente, por el Teorema del coseno :

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C y como 2c^2 = a^2 + b^2
es cos C = c^2 / 2ab

Pero cos C = cos 2(C/2) = cos^2(C/2) - sen^2(C/2) = 2cos^2(C/2) - 1

Así que, c^2 / 2ab = 2( (a+b)/(sqrt(3)c) )^2 - 1

De aquí, ( y siempre teniendo en cuenta que 2c^2 = a^2+b^2 )
sólo puede derivarse que c^2 = 2ab

Luego, el triángulo tendría los tres lados distintos verificándose
la relación c^2 = 2ab.
¿ Por qué descartar esta posibilidad ?

Saludos,

<jhnieto***gmail.com> escribió en el mensaje
news:1192552061.237618.124630***v29g2000prd.googlegr oups.com...
On 16 oct, 07:40, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Con la notación habitual para triángulos sea m(X) la mediana que parte
> del vértice X y w(X) la bisectriz interior que parte del vértice X.
> Si m(A) = (rq(3)/2)b y w(C) = (rq(3)/2)c demostrar que el triángulo es
> equilátero.
>
> Saludos.

Como m(A)^2 = (b^2 + c^2)/2 - a^2/4 =(3/4)b^2

resulta a^2 + b^2 = 2c^2, y entonces

m(C)^2 = (a^2 + b^2)/2 - c^2/4 = (3/4)c^2 = w(C)^2,

de donde m(C) = w(C). De aquí se sigue que la mediana y la bisectriz
desde C coinciden entre sí y con la altura (la otra posibilidad es que
ambas fuesen simétricas respecto a la altura, y esto se descarta
fácilmente) y el triángulo es isósceles (a=b). Y como la altura es
(rq(3)/2)c, es equilátero.

No entiendo bien el remate del problema.

Si m(C) = w(C), aplicando el Teorema del coseno se tiene :

(c/2)^2 = w(C)^2 + b^2 - 2w(C)b cos (C/2)
(c/2)^2 = w(C)^2 + a^2 - 2w(C)a cos (C/2)

Por lo que b^2 - a^2 = 2w(C)(b-a)cos( C/2 ) (#1)

Una posibilidad es a = b ( y la igualdad (#1) queda reducidad a 0 = 0 )
y como se ha probado que 2c^2 = a^2 + b^2 , entonces a = b = c .

La otra posibilidad es que "a" sea distinto de "b". Dividiendo en (#1)
entre b-a, resulta a+b = 2w(C)cos(C/2)

Luego, cos (C/2) = (a+b)/2w(C) = (a+b)/(sqrt(3)c)

Nuevamente, por el Teorema del coseno :

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C y como 2c^2 = a^2 + b^2
es cos C = c^2 / 2ab

Pero cos C = cos 2(C/2) = cos^2(C/2) - sen^2(C/2) = 2cos^2(C/2) - 1

Así que, c^2 / 2ab = 2( (a+b)/(sqrt(3)c) )^2 - 1

De aquí, ( y siempre teniendo en cuenta que 2c^2 = a^2+b^2 )
sólo puede derivarse que c^2 = 2ab

Luego, el triángulo tendría los tres lados distintos verificándose
la relación c^2 = 2ab.
¿ Por qué descartar esta posibilidad ?

Saludos,

"Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
news:fg1mvm$cmd$1***registered.motzarella.org...
>
> <jhnieto***gmail.com> escribió en el mensaje
> news:1192552061.237618.124630***v29g2000prd.googlegr oups.com...
> On 16 oct, 07:40, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
>> Con la notación habitual para triángulos sea m(X) la mediana que parte
>> del vértice X y w(X) la bisectriz interior que parte del vértice X.
>> Si m(A) = (rq(3)/2)b y w(C) = (rq(3)/2)c demostrar que el triángulo es
>> equilátero.
>>
>> Saludos.
>
> Como m(A)^2 = (b^2 + c^2)/2 - a^2/4 =(3/4)b^2
>
> resulta a^2 + b^2 = 2c^2, y entonces
>
> m(C)^2 = (a^2 + b^2)/2 - c^2/4 = (3/4)c^2 = w(C)^2,
>
> de donde m(C) = w(C). De aquí se sigue que la mediana y la bisectriz
> desde C coinciden entre sí y con la altura (la otra posibilidad es que
> ambas fuesen simétricas respecto a la altura, y esto se descarta
> fácilmente) y el triángulo es isósceles (a=b). Y como la altura es
> (rq(3)/2)c, es equilátero.
>
> No entiendo bien el remate del problema.
>
> Si m(C) = w(C), aplicando el Teorema del coseno se tiene :
>
> (c/2)^2 = w(C)^2 + b^2 - 2w(C)b cos (C/2)
> (c/2)^2 = w(C)^2 + a^2 - 2w(C)a cos (C/2)
>
> Por lo que b^2 - a^2 = 2w(C)(b-a)cos( C/2 ) (#1)
>
> Una posibilidad es a = b ( y la igualdad (#1) queda reducidad a 0 = 0 )
> y como se ha probado que 2c^2 = a^2 + b^2 , entonces a = b = c .
>
> La otra posibilidad es que "a" sea distinto de "b". Dividiendo en (#1)
> entre b-a, resulta a+b = 2w(C)cos(C/2)
>
> Luego, cos (C/2) = (a+b)/2w(C) = (a+b)/(sqrt(3)c)
>
> Nuevamente, por el Teorema del coseno :
>
> c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C y como 2c^2 = a^2 + b^2
> es cos C = c^2 / 2ab
>
> Pero cos C = cos 2(C/2) = cos^2(C/2) - sen^2(C/2) = 2cos^2(C/2) - 1
>
> Así que, c^2 / 2ab = 2( (a+b)/(sqrt(3)c) )^2 - 1
>
> De aquí, ( y siempre teniendo en cuenta que 2c^2 = a^2+b^2 )
> sólo puede derivarse que c^2 = 2ab
>
> Luego, el triángulo tendría los tres lados distintos verificándose
> la relación c^2 = 2ab.
> ¿ Por qué descartar esta posibilidad ?
>
> Saludos,

Ufff... me voy a responder a mí mismo, que acabo de verlo.

Si c^2 = 2ab, entonces cos C = 1 y C tendría que ser 0.
Luego la única posibilidad es que el triángulo sea equilátero.

Ahora creo que sí.

Saludos,

"Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
news:fg1mvm$cmd$1***registered.motzarella.org...
>
> <jhnieto***gmail.com> escribió en el mensaje
> news:1192552061.237618.124630***v29g2000prd.googlegr oups.com...
> On 16 oct, 07:40, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
>> Con la notación habitual para triángulos sea m(X) la mediana que parte
>> del vértice X y w(X) la bisectriz interior que parte del vértice X.
>> Si m(A) = (rq(3)/2)b y w(C) = (rq(3)/2)c demostrar que el triángulo es
>> equilátero.
>>
>> Saludos.
>
> Como m(A)^2 = (b^2 + c^2)/2 - a^2/4 =(3/4)b^2
>
> resulta a^2 + b^2 = 2c^2, y entonces
>
> m(C)^2 = (a^2 + b^2)/2 - c^2/4 = (3/4)c^2 = w(C)^2,
>
> de donde m(C) = w(C). De aquí se sigue que la mediana y la bisectriz
> desde C coinciden entre sí y con la altura (la otra posibilidad es que
> ambas fuesen simétricas respecto a la altura, y esto se descarta
> fácilmente) y el triángulo es isósceles (a=b). Y como la altura es
> (rq(3)/2)c, es equilátero.
>
> No entiendo bien el remate del problema.
>
> Si m(C) = w(C), aplicando el Teorema del coseno se tiene :
>
> (c/2)^2 = w(C)^2 + b^2 - 2w(C)b cos (C/2)
> (c/2)^2 = w(C)^2 + a^2 - 2w(C)a cos (C/2)
>
> Por lo que b^2 - a^2 = 2w(C)(b-a)cos( C/2 ) (#1)
>
> Una posibilidad es a = b ( y la igualdad (#1) queda reducidad a 0 = 0 )
> y como se ha probado que 2c^2 = a^2 + b^2 , entonces a = b = c .
>
> La otra posibilidad es que "a" sea distinto de "b". Dividiendo en (#1)
> entre b-a, resulta a+b = 2w(C)cos(C/2)
>
> Luego, cos (C/2) = (a+b)/2w(C) = (a+b)/(sqrt(3)c)
>
> Nuevamente, por el Teorema del coseno :
>
> c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C y como 2c^2 = a^2 + b^2
> es cos C = c^2 / 2ab
>
> Pero cos C = cos 2(C/2) = cos^2(C/2) - sen^2(C/2) = 2cos^2(C/2) - 1
>
> Así que, c^2 / 2ab = 2( (a+b)/(sqrt(3)c) )^2 - 1
>
> De aquí, ( y siempre teniendo en cuenta que 2c^2 = a^2+b^2 )
> sólo puede derivarse que c^2 = 2ab
>
> Luego, el triángulo tendría los tres lados distintos verificándose
> la relación c^2 = 2ab.
> ¿ Por qué descartar esta posibilidad ?
>
> Saludos,

Ufff... me voy a responder a mí mismo, que acabo de verlo.

Si c^2 = 2ab, entonces cos C = 1 y C tendría que ser 0.
Luego la única posibilidad es que el triángulo sea equilátero.

Ahora creo que sí.

Saludos,

"Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
news:fg1mvm$cmd$1***registered.motzarella.org...
>
> <jhnieto***gmail.com> escribió en el mensaje
> news:1192552061.237618.124630***v29g2000prd.googlegr oups.com...
> On 16 oct, 07:40, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
>> Con la notación habitual para triángulos sea m(X) la mediana que parte
>> del vértice X y w(X) la bisectriz interior que parte del vértice X.
>> Si m(A) = (rq(3)/2)b y w(C) = (rq(3)/2)c demostrar que el triángulo es
>> equilátero.
>>
>> Saludos.
>
> Como m(A)^2 = (b^2 + c^2)/2 - a^2/4 =(3/4)b^2
>
> resulta a^2 + b^2 = 2c^2, y entonces
>
> m(C)^2 = (a^2 + b^2)/2 - c^2/4 = (3/4)c^2 = w(C)^2,
>
> de donde m(C) = w(C). De aquí se sigue que la mediana y la bisectriz
> desde C coinciden entre sí y con la altura (la otra posibilidad es que
> ambas fuesen simétricas respecto a la altura, y esto se descarta
> fácilmente) y el triángulo es isósceles (a=b). Y como la altura es
> (rq(3)/2)c, es equilátero.
>
> No entiendo bien el remate del problema.
>
> Si m(C) = w(C), aplicando el Teorema del coseno se tiene :
>
> (c/2)^2 = w(C)^2 + b^2 - 2w(C)b cos (C/2)
> (c/2)^2 = w(C)^2 + a^2 - 2w(C)a cos (C/2)
>
> Por lo que b^2 - a^2 = 2w(C)(b-a)cos( C/2 ) (#1)
>
> Una posibilidad es a = b ( y la igualdad (#1) queda reducidad a 0 = 0 )
> y como se ha probado que 2c^2 = a^2 + b^2 , entonces a = b = c .
>
> La otra posibilidad es que "a" sea distinto de "b". Dividiendo en (#1)
> entre b-a, resulta a+b = 2w(C)cos(C/2)
>
> Luego, cos (C/2) = (a+b)/2w(C) = (a+b)/(sqrt(3)c)
>
> Nuevamente, por el Teorema del coseno :
>
> c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C y como 2c^2 = a^2 + b^2
> es cos C = c^2 / 2ab
>
> Pero cos C = cos 2(C/2) = cos^2(C/2) - sen^2(C/2) = 2cos^2(C/2) - 1
>
> Así que, c^2 / 2ab = 2( (a+b)/(sqrt(3)c) )^2 - 1
>
> De aquí, ( y siempre teniendo en cuenta que 2c^2 = a^2+b^2 )
> sólo puede derivarse que c^2 = 2ab
>
> Luego, el triángulo tendría los tres lados distintos verificándose
> la relación c^2 = 2ab.
> ¿ Por qué descartar esta posibilidad ?
>
> Saludos,

Ufff... me voy a responder a mí mismo, que acabo de verlo.

Si c^2 = 2ab, entonces cos C = 1 y C tendría que ser 0.
Luego la única posibilidad es que el triángulo sea equilátero.

Ahora creo que sí.

Saludos,