Sean a,b y c números reales tales que a+b+c=15
y ab+bc+ac=27.Dar un intervalo para todos los posibles valores del
producto abc.

Saludos
León-Sotelo

León-Sotelo escribió:
> Sean a,b y c números reales tales que a+b+c=15
> y ab+bc+ac=27.Dar un intervalo para todos los posibles valores del
> producto abc.
>

a,b y c son soluciones de la ecuación cúbica

x^3 - 15x^2 + 27x - P = 0


Se trata de ver para que valores de P esta ecuación tiene tres
soluciones reales.

Gráficamente, es sencilo. Esta función posee un máximo y un mínimo
soluciones de

3x^2 - 30x + 27 = 0

esto es, en

x = 1 (máximo)

x = 9 (mínimo)

Los valores máximos y mínimos de P se alcanzan cuando para estas raíces
la curva es tangente al eje de abcisas, esto es, si

f(1) = 13 - P = 0 ---> P = 13

y si

f(9) = -243 - P = 0 --> P = -243

por tanto el producto abc se encuentra en el rango (-243,13)

--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> Sean a,b y c números reales tales que a+b+c=15
> y ab+bc+ac=27.Dar un intervalo para todos los posibles valores del
> producto abc.
>

a,b y c son soluciones de la ecuación cúbica

x^3 - 15x^2 + 27x - P = 0


Se trata de ver para que valores de P esta ecuación tiene tres
soluciones reales.

Gráficamente, es sencilo. Esta función posee un máximo y un mínimo
soluciones de

3x^2 - 30x + 27 = 0

esto es, en

x = 1 (máximo)

x = 9 (mínimo)

Los valores máximos y mínimos de P se alcanzan cuando para estas raíces
la curva es tangente al eje de abcisas, esto es, si

f(1) = 13 - P = 0 ---> P = 13

y si

f(9) = -243 - P = 0 --> P = -243

por tanto el producto abc se encuentra en el rango (-243,13)

--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> Sean a,b y c números reales tales que a+b+c=15
> y ab+bc+ac=27.Dar un intervalo para todos los posibles valores del
> producto abc.
>

a,b y c son soluciones de la ecuación cúbica

x^3 - 15x^2 + 27x - P = 0


Se trata de ver para que valores de P esta ecuación tiene tres
soluciones reales.

Gráficamente, es sencilo. Esta función posee un máximo y un mínimo
soluciones de

3x^2 - 30x + 27 = 0

esto es, en

x = 1 (máximo)

x = 9 (mínimo)

Los valores máximos y mínimos de P se alcanzan cuando para estas raíces
la curva es tangente al eje de abcisas, esto es, si

f(1) = 13 - P = 0 ---> P = 13

y si

f(9) = -243 - P = 0 --> P = -243

por tanto el producto abc se encuentra en el rango (-243,13)

--

Antonio

On 17 oct, 09:48, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> León-Sotelo escribió:
>
> > Sean a,b y c números reales tales que a+b+c=15
> > y ab+bc+ac=27.Dar un intervalo para todos los posibles valores del
> > producto abc.
>
> a,b y c son soluciones de la ecuación cúbica
>
> x^3 - 15x^2 + 27x - P = 0
>
> Se trata de ver para que valores de P esta ecuación tiene tres
> soluciones reales.
>
> Gráficamente, es sencilo. Esta función posee un máximo y un mínimo
> soluciones de
>
> 3x^2 - 30x + 27 = 0
>
> esto es, en
>
> x = 1 (máximo)
>
> x = 9 (mínimo)
>
> Los valores máximos y mínimos de P se alcanzan cuando para estas raíces
> la curva es tangente al eje de abcisas, esto es, si
>
> f(1) = 13 - P = 0 ---> P = 13
>
> y si
>
> f(9) = -243 - P = 0 --> P = -243
>
> por tanto el producto abc se encuentra en el rango (-243,13)
>
> --
>
> Antonio

Para ser más precisos en [-243,13] (que se te escapaba Antonio :-) ).

Saludos.

On 17 oct, 09:48, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> León-Sotelo escribió:
>
> > Sean a,b y c números reales tales que a+b+c=15
> > y ab+bc+ac=27.Dar un intervalo para todos los posibles valores del
> > producto abc.
>
> a,b y c son soluciones de la ecuación cúbica
>
> x^3 - 15x^2 + 27x - P = 0
>
> Se trata de ver para que valores de P esta ecuación tiene tres
> soluciones reales.
>
> Gráficamente, es sencilo. Esta función posee un máximo y un mínimo
> soluciones de
>
> 3x^2 - 30x + 27 = 0
>
> esto es, en
>
> x = 1 (máximo)
>
> x = 9 (mínimo)
>
> Los valores máximos y mínimos de P se alcanzan cuando para estas raíces
> la curva es tangente al eje de abcisas, esto es, si
>
> f(1) = 13 - P = 0 ---> P = 13
>
> y si
>
> f(9) = -243 - P = 0 --> P = -243
>
> por tanto el producto abc se encuentra en el rango (-243,13)
>
> --
>
> Antonio

Para ser más precisos en [-243,13] (que se te escapaba Antonio :-) ).

Saludos.

On 17 oct, 09:48, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> León-Sotelo escribió:
>
> > Sean a,b y c números reales tales que a+b+c=15
> > y ab+bc+ac=27.Dar un intervalo para todos los posibles valores del
> > producto abc.
>
> a,b y c son soluciones de la ecuación cúbica
>
> x^3 - 15x^2 + 27x - P = 0
>
> Se trata de ver para que valores de P esta ecuación tiene tres
> soluciones reales.
>
> Gráficamente, es sencilo. Esta función posee un máximo y un mínimo
> soluciones de
>
> 3x^2 - 30x + 27 = 0
>
> esto es, en
>
> x = 1 (máximo)
>
> x = 9 (mínimo)
>
> Los valores máximos y mínimos de P se alcanzan cuando para estas raíces
> la curva es tangente al eje de abcisas, esto es, si
>
> f(1) = 13 - P = 0 ---> P = 13
>
> y si
>
> f(9) = -243 - P = 0 --> P = -243
>
> por tanto el producto abc se encuentra en el rango (-243,13)
>
> --
>
> Antonio

Para ser más precisos en [-243,13] (que se te escapaba Antonio :-) ).

Saludos.

On 17 oct, 12:15, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> On 17 oct, 09:48, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>
>
>
>
>
> > León-Sotelo escribió:
>
> > > Sean a,b y c números reales tales que a+b+c=15
> > > y ab+bc+ac=27.Dar un intervalo para todos los posibles valores del
> > > producto abc.
>
> > a,b y c son soluciones de la ecuación cúbica
>
> > x^3 - 15x^2 + 27x - P = 0
>
> > Se trata de ver para que valores de P esta ecuación tiene tres
> > soluciones reales.
>
> > Gráficamente, es sencilo. Esta función posee un máximo y un mínimo
> > soluciones de
>
> > 3x^2 - 30x + 27 = 0
>
> > esto es, en
>
> > x = 1 (máximo)
>
> > x = 9 (mínimo)
>
> > Los valores máximos y mínimos de P se alcanzan cuando para estas raíces
> > la curva es tangente al eje de abcisas, esto es, si
>
> > f(1) = 13 - P = 0 ---> P = 13
>
> > y si
>
> > f(9) = -243 - P = 0 --> P = -243
>
> > por tanto el producto abc se encuentra en el rango (-243,13)
>
> > --
>
> > Antonio
>
> Para ser más precisos en [-243,13] (que se te escapaba Antonio :-) ).
>
> Saludos.- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -

Otra posible forma sería hacer :

a + b = 15 -c
ab = 27 - c(a + b) = 27 -c(15 -c) = c^2 - 15c + 27

Puesto que a y b deben de ser reales esto restringe a c al intervalo
[-3,13] (mirando su discriminante).

Por tanto el producto sería abc = (c^2 - 15c + 27)c = c^3 - 15c^2 +
27c

Y lo que queremos es maximizar y minimizar esa expresión en c con la
condición de que c esté en el intervalo [-3,13].Puesto que es
derivable la expresión sus valores máximo y mínimo se encontrarán en
los puntos de extremo relativo o en los extremos del intervalo.

Puesto que la derivada es 3c^2 - 30c + 27 = 3(c - 1)(c - 9)

Evaluamos la expresión c^3 - 15c^2 + 27c en c=-3,13,1,9 y
efectivamente se obtiene que el mínimo absoluto en [-3,13] es -243 y
el máximo absoluto 13.

Es decir:

-243 <= c^3 - 15c^2 + 27c <= 13 si c está en [-3,13]


Saludos.

On 17 oct, 12:15, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> On 17 oct, 09:48, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>
>
>
>
>
> > León-Sotelo escribió:
>
> > > Sean a,b y c números reales tales que a+b+c=15
> > > y ab+bc+ac=27.Dar un intervalo para todos los posibles valores del
> > > producto abc.
>
> > a,b y c son soluciones de la ecuación cúbica
>
> > x^3 - 15x^2 + 27x - P = 0
>
> > Se trata de ver para que valores de P esta ecuación tiene tres
> > soluciones reales.
>
> > Gráficamente, es sencilo. Esta función posee un máximo y un mínimo
> > soluciones de
>
> > 3x^2 - 30x + 27 = 0
>
> > esto es, en
>
> > x = 1 (máximo)
>
> > x = 9 (mínimo)
>
> > Los valores máximos y mínimos de P se alcanzan cuando para estas raíces
> > la curva es tangente al eje de abcisas, esto es, si
>
> > f(1) = 13 - P = 0 ---> P = 13
>
> > y si
>
> > f(9) = -243 - P = 0 --> P = -243
>
> > por tanto el producto abc se encuentra en el rango (-243,13)
>
> > --
>
> > Antonio
>
> Para ser más precisos en [-243,13] (que se te escapaba Antonio :-) ).
>
> Saludos.- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -

Otra posible forma sería hacer :

a + b = 15 -c
ab = 27 - c(a + b) = 27 -c(15 -c) = c^2 - 15c + 27

Puesto que a y b deben de ser reales esto restringe a c al intervalo
[-3,13] (mirando su discriminante).

Por tanto el producto sería abc = (c^2 - 15c + 27)c = c^3 - 15c^2 +
27c

Y lo que queremos es maximizar y minimizar esa expresión en c con la
condición de que c esté en el intervalo [-3,13].Puesto que es
derivable la expresión sus valores máximo y mínimo se encontrarán en
los puntos de extremo relativo o en los extremos del intervalo.

Puesto que la derivada es 3c^2 - 30c + 27 = 3(c - 1)(c - 9)

Evaluamos la expresión c^3 - 15c^2 + 27c en c=-3,13,1,9 y
efectivamente se obtiene que el mínimo absoluto en [-3,13] es -243 y
el máximo absoluto 13.

Es decir:

-243 <= c^3 - 15c^2 + 27c <= 13 si c está en [-3,13]


Saludos.

On 17 oct, 12:15, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> On 17 oct, 09:48, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>
>
>
>
>
> > León-Sotelo escribió:
>
> > > Sean a,b y c números reales tales que a+b+c=15
> > > y ab+bc+ac=27.Dar un intervalo para todos los posibles valores del
> > > producto abc.
>
> > a,b y c son soluciones de la ecuación cúbica
>
> > x^3 - 15x^2 + 27x - P = 0
>
> > Se trata de ver para que valores de P esta ecuación tiene tres
> > soluciones reales.
>
> > Gráficamente, es sencilo. Esta función posee un máximo y un mínimo
> > soluciones de
>
> > 3x^2 - 30x + 27 = 0
>
> > esto es, en
>
> > x = 1 (máximo)
>
> > x = 9 (mínimo)
>
> > Los valores máximos y mínimos de P se alcanzan cuando para estas raíces
> > la curva es tangente al eje de abcisas, esto es, si
>
> > f(1) = 13 - P = 0 ---> P = 13
>
> > y si
>
> > f(9) = -243 - P = 0 --> P = -243
>
> > por tanto el producto abc se encuentra en el rango (-243,13)
>
> > --
>
> > Antonio
>
> Para ser más precisos en [-243,13] (que se te escapaba Antonio :-) ).
>
> Saludos.- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -

Otra posible forma sería hacer :

a + b = 15 -c
ab = 27 - c(a + b) = 27 -c(15 -c) = c^2 - 15c + 27

Puesto que a y b deben de ser reales esto restringe a c al intervalo
[-3,13] (mirando su discriminante).

Por tanto el producto sería abc = (c^2 - 15c + 27)c = c^3 - 15c^2 +
27c

Y lo que queremos es maximizar y minimizar esa expresión en c con la
condición de que c esté en el intervalo [-3,13].Puesto que es
derivable la expresión sus valores máximo y mínimo se encontrarán en
los puntos de extremo relativo o en los extremos del intervalo.

Puesto que la derivada es 3c^2 - 30c + 27 = 3(c - 1)(c - 9)

Evaluamos la expresión c^3 - 15c^2 + 27c en c=-3,13,1,9 y
efectivamente se obtiene que el mínimo absoluto en [-3,13] es -243 y
el máximo absoluto 13.

Es decir:

-243 <= c^3 - 15c^2 + 27c <= 13 si c está en [-3,13]


Saludos.