Estoy leyendo ahora "Números surreales", la novelilla de Donald Knuth
sobre estos números definidos por John Conway (aunque el adjetivo
surreales es obra de Knuth, Conway los llamó simplemente "números",
aunque luego adoptó la terminología de Knuth).

Los números surreales se basan en los siguientes axiomas:

1) Un "número"

x = < X_L : X_R >

está formado por dos conjuntos (X_L y X_R) de "números" previamente
conocidos, tal que ningún elemento de la parte derecha, X_R, es "menor o
igual" que cualquier elemento de la parte izquierda, X_L.

2) Un "número" x es "menor o igual" que y

x <= y

cuando y no es "menor o igual" que ningún elemento de X_L, ni ningún
elemento de Y_L es "menor o igual" que x.

3) 0 = < : >

(esto es, el "número" llamado "0" es el formado por dos conjuntos vacíos.

A partir de estas pocas reglas pueden deducirse todos los números
entero, racionales, reales e incluso transfinitos, con todas sus
propiedades aritméticas.

Para empezar:

a) Demostrar que 0 <= 0

b) Sean

1 = < 0 : >
-1 = < : 0 >

Demostrar que

-1 <= 0

0 <= 1

-1 <= 1

Más aun, si definimos

y > x

como que y no es "menor o igual" que x, probar que

1 > 0 0 > -1 1 > -1

c) ¿Es <0:0> un número?

d) Demostrar que

x = <:X>
y = <Y:>

son siempre números y verifican

x <= y

e) Dos números x e y son el mismo número si

x <= y e y <= x

¿cuántos números nuevos diferentes pueden definirse a partir de -1,0,1?

f) Probar que si

x <= y e y <= z,

entonces

x <=z

--

Antonio

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:5nmvn7Fj87qcU1***mid.individual.net...
> Estoy leyendo ahora "Números surreales", la novelilla de Donald Knuth
> sobre estos números definidos por John Conway (aunque el adjetivo
> surreales es obra de Knuth, Conway los llamó simplemente "números",
> aunque luego adoptó la terminología de Knuth).
>
> Los números surreales se basan en los siguientes axiomas:
>
> 1) Un "número"
>
> x = < X_L : X_R >
>
> está formado por dos conjuntos (X_L y X_R) de "números" previamente
> conocidos, tal que ningún elemento de la parte derecha, X_R, es
> "menor o igual" que cualquier elemento de la parte izquierda, X_L.
>
> 2) Un "número" x es "menor o igual" que y
>
> x <= y
>
> cuando y no es "menor o igual" que ningún elemento de X_L, ni ningún
> elemento de Y_L es "menor o igual" que x.
>
> 3) 0 = < : >
>
> (esto es, el "número" llamado "0" es el formado por dos conjuntos
> vacíos.
>
> A partir de estas pocas reglas pueden deducirse todos los números
> entero, racionales, reales e incluso transfinitos, con todas sus
> propiedades aritméticas.
>
> Para empezar:
>
> a) Demostrar que 0 <= 0
>
> b) Sean
>
> 1 = < 0 : >
> -1 = < : 0 >
>
> Demostrar que
>
> -1 <= 0
>
> 0 <= 1
>
> -1 <= 1
>
> Más aun, si definimos
>
> y > x
>
> como que y no es "menor o igual" que x, probar que
>
> 1 > 0 0 > -1 1 > -1
>
> c) ¿Es <0:0> un número?
>
> d) Demostrar que
>
> x = <:X>
> y = <Y:>
>
> son siempre números y verifican
>
> x <= y
>
> e) Dos números x e y son el mismo número si
>
> x <= y e y <= x
>
> ¿cuántos números nuevos diferentes pueden definirse a partir
> de -1,0,1?
>
> f) Probar que si
>
> x <= y e y <= z,
>
> entonces
>
> x <=z
>
> --
>
> Antonio

No entiendo qué significa

"y no es "menor o igual" que ningún elemento de X_L"

O sea, me falta la definición de la comparación entre y = < Y_L : Y_R >
y un elemento del conjunto X_L

Saludos,
Wolfgang

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:5nmvn7Fj87qcU1***mid.individual.net...
> Estoy leyendo ahora "Números surreales", la novelilla de Donald Knuth
> sobre estos números definidos por John Conway (aunque el adjetivo
> surreales es obra de Knuth, Conway los llamó simplemente "números",
> aunque luego adoptó la terminología de Knuth).
>
> Los números surreales se basan en los siguientes axiomas:
>
> 1) Un "número"
>
> x = < X_L : X_R >
>
> está formado por dos conjuntos (X_L y X_R) de "números" previamente
> conocidos, tal que ningún elemento de la parte derecha, X_R, es
> "menor o igual" que cualquier elemento de la parte izquierda, X_L.
>
> 2) Un "número" x es "menor o igual" que y
>
> x <= y
>
> cuando y no es "menor o igual" que ningún elemento de X_L, ni ningún
> elemento de Y_L es "menor o igual" que x.
>
> 3) 0 = < : >
>
> (esto es, el "número" llamado "0" es el formado por dos conjuntos
> vacíos.
>
> A partir de estas pocas reglas pueden deducirse todos los números
> entero, racionales, reales e incluso transfinitos, con todas sus
> propiedades aritméticas.
>
> Para empezar:
>
> a) Demostrar que 0 <= 0
>
> b) Sean
>
> 1 = < 0 : >
> -1 = < : 0 >
>
> Demostrar que
>
> -1 <= 0
>
> 0 <= 1
>
> -1 <= 1
>
> Más aun, si definimos
>
> y > x
>
> como que y no es "menor o igual" que x, probar que
>
> 1 > 0 0 > -1 1 > -1
>
> c) ¿Es <0:0> un número?
>
> d) Demostrar que
>
> x = <:X>
> y = <Y:>
>
> son siempre números y verifican
>
> x <= y
>
> e) Dos números x e y son el mismo número si
>
> x <= y e y <= x
>
> ¿cuántos números nuevos diferentes pueden definirse a partir
> de -1,0,1?
>
> f) Probar que si
>
> x <= y e y <= z,
>
> entonces
>
> x <=z
>
> --
>
> Antonio

No entiendo qué significa

"y no es "menor o igual" que ningún elemento de X_L"

O sea, me falta la definición de la comparación entre y = < Y_L : Y_R >
y un elemento del conjunto X_L

Saludos,
Wolfgang

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:5nmvn7Fj87qcU1***mid.individual.net...
> Estoy leyendo ahora "Números surreales", la novelilla de Donald Knuth
> sobre estos números definidos por John Conway (aunque el adjetivo
> surreales es obra de Knuth, Conway los llamó simplemente "números",
> aunque luego adoptó la terminología de Knuth).
>
> Los números surreales se basan en los siguientes axiomas:
>
> 1) Un "número"
>
> x = < X_L : X_R >
>
> está formado por dos conjuntos (X_L y X_R) de "números" previamente
> conocidos, tal que ningún elemento de la parte derecha, X_R, es
> "menor o igual" que cualquier elemento de la parte izquierda, X_L.
>
> 2) Un "número" x es "menor o igual" que y
>
> x <= y
>
> cuando y no es "menor o igual" que ningún elemento de X_L, ni ningún
> elemento de Y_L es "menor o igual" que x.
>
> 3) 0 = < : >
>
> (esto es, el "número" llamado "0" es el formado por dos conjuntos
> vacíos.
>
> A partir de estas pocas reglas pueden deducirse todos los números
> entero, racionales, reales e incluso transfinitos, con todas sus
> propiedades aritméticas.
>
> Para empezar:
>
> a) Demostrar que 0 <= 0
>
> b) Sean
>
> 1 = < 0 : >
> -1 = < : 0 >
>
> Demostrar que
>
> -1 <= 0
>
> 0 <= 1
>
> -1 <= 1
>
> Más aun, si definimos
>
> y > x
>
> como que y no es "menor o igual" que x, probar que
>
> 1 > 0 0 > -1 1 > -1
>
> c) ¿Es <0:0> un número?
>
> d) Demostrar que
>
> x = <:X>
> y = <Y:>
>
> son siempre números y verifican
>
> x <= y
>
> e) Dos números x e y son el mismo número si
>
> x <= y e y <= x
>
> ¿cuántos números nuevos diferentes pueden definirse a partir
> de -1,0,1?
>
> f) Probar que si
>
> x <= y e y <= z,
>
> entonces
>
> x <=z
>
> --
>
> Antonio

No entiendo qué significa

"y no es "menor o igual" que ningún elemento de X_L"

O sea, me falta la definición de la comparación entre y = < Y_L : Y_R >
y un elemento del conjunto X_L

Saludos,
Wolfgang

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:5nmvn7Fj87qcU1***mid.individual.net...
>> Estoy leyendo ahora "Números surreales", la novelilla de Donald Knuth
>> sobre estos números definidos por John Conway (aunque el adjetivo
>> surreales es obra de Knuth, Conway los llamó simplemente "números",
>> aunque luego adoptó la terminología de Knuth).
>>
>> Los números surreales se basan en los siguientes axiomas:
>>
>> 1) Un "número"
>>
>> x = < X_L : X_R >
>>
>> está formado por dos conjuntos (X_L y X_R) de "números" previamente
>> conocidos, tal que ningún elemento de la parte derecha, X_R, es "menor
>> o igual" que cualquier elemento de la parte izquierda, X_L.
>>
>> 2) Un "número" x es "menor o igual" que y
>>
>> x <= y
>>
>> cuando y no es "menor o igual" que ningún elemento de X_L, ni ningún
>> elemento de Y_L es "menor o igual" que x.
>>
>> 3) 0 = < : >
>>
>> (esto es, el "número" llamado "0" es el formado por dos conjuntos vacíos.
>>
>> A partir de estas pocas reglas pueden deducirse todos los números
>> entero, racionales, reales e incluso transfinitos, con todas sus
>> propiedades aritméticas.
>>
>> Para empezar:
>>
>> a) Demostrar que 0 <= 0
>>
>> b) Sean
>>
>> 1 = < 0 : >
>> -1 = < : 0 >
>>
>> Demostrar que
>>
>> -1 <= 0
>>
>> 0 <= 1
>>
>> -1 <= 1
>>
>> Más aun, si definimos
>>
>> y > x
>>
>> como que y no es "menor o igual" que x, probar que
>>
>> 1 > 0 0 > -1 1 > -1
>>
>> c) ¿Es <0:0> un número?
>>
>> d) Demostrar que
>>
>> x = <:X>
>> y = <Y:>
>>
>> son siempre números y verifican
>>
>> x <= y
>>
>> e) Dos números x e y son el mismo número si
>>
>> x <= y e y <= x
>>
>> ¿cuántos números nuevos diferentes pueden definirse a partir de -1,0,1?
>>
>> f) Probar que si
>>
>> x <= y e y <= z,
>>
>> entonces
>>
>> x <=z
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> No entiendo qué significa
>
> "y no es "menor o igual" que ningún elemento de X_L"

Pues eso, ten en cuenta que X_L está formado por números definidos
previamente, y lo mismo ocurre con Y_R, por tanto la comparación de y
con los elementos de X_L es otra comparación de números que, o ya se
sabe cuánto vale o bien lleva a una cascada de comparaciones que termina
siempre en el número original "0".

Por ejemplo: ¿Es 0 "menor o igual" que 0?

0 = < : >

Para comprobar que 0 <= 0 debe ocurrir que

y no es "menor o igual" que ningún elemento de 0_L = {}. Pero 0_L es
el conjunto vacío, luego esta condición se cumple (dicho más llanamente
"ningún elemento de {} es mayor o igual que y". Lo mismo con la otra
relación. Por tanto 0 <= 0.

Utilizo la notación x es "mayor o igual" que y si y es "menor o igual"
que x.

Construimos ahora el número

1 = <0:>

¿Es 0 <= 1?

¿ <:> <= <0:> ?

Pues ningún elemento de 0_L ={} debe ser mayor o igual que 1 --> se
cumple porque {} no tiene ningún elemento.

También debe cumplirse que ningún elemento 1_R = {} debe ser mayor que
0. Se cumple igualmente. Por tanto 0 <= 1

¿Es 1 <= 0?

¿ <0:> <= <:>?

Debe cumplirse que ningún elemento de 1_R = {0} sea mayor o igual que 0.
Pero esto es falso, pues 0 >= 0.

La otra condición, que 0_R = {} no sea menor o igual que 1 sí se cumple.

Por tanto

1 <!= 0

y podemos escribir la condición más estricta

0 < 1





>
> O sea, me falta la definición de la comparación entre y = < Y_L : Y_R >
> y un elemento del conjunto X_L
>
> Saludos,
> Wolfgang


--

Antonio

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:5nmvn7Fj87qcU1***mid.individual.net...
>> Estoy leyendo ahora "Números surreales", la novelilla de Donald Knuth
>> sobre estos números definidos por John Conway (aunque el adjetivo
>> surreales es obra de Knuth, Conway los llamó simplemente "números",
>> aunque luego adoptó la terminología de Knuth).
>>
>> Los números surreales se basan en los siguientes axiomas:
>>
>> 1) Un "número"
>>
>> x = < X_L : X_R >
>>
>> está formado por dos conjuntos (X_L y X_R) de "números" previamente
>> conocidos, tal que ningún elemento de la parte derecha, X_R, es "menor
>> o igual" que cualquier elemento de la parte izquierda, X_L.
>>
>> 2) Un "número" x es "menor o igual" que y
>>
>> x <= y
>>
>> cuando y no es "menor o igual" que ningún elemento de X_L, ni ningún
>> elemento de Y_L es "menor o igual" que x.
>>
>> 3) 0 = < : >
>>
>> (esto es, el "número" llamado "0" es el formado por dos conjuntos vacíos.
>>
>> A partir de estas pocas reglas pueden deducirse todos los números
>> entero, racionales, reales e incluso transfinitos, con todas sus
>> propiedades aritméticas.
>>
>> Para empezar:
>>
>> a) Demostrar que 0 <= 0
>>
>> b) Sean
>>
>> 1 = < 0 : >
>> -1 = < : 0 >
>>
>> Demostrar que
>>
>> -1 <= 0
>>
>> 0 <= 1
>>
>> -1 <= 1
>>
>> Más aun, si definimos
>>
>> y > x
>>
>> como que y no es "menor o igual" que x, probar que
>>
>> 1 > 0 0 > -1 1 > -1
>>
>> c) ¿Es <0:0> un número?
>>
>> d) Demostrar que
>>
>> x = <:X>
>> y = <Y:>
>>
>> son siempre números y verifican
>>
>> x <= y
>>
>> e) Dos números x e y son el mismo número si
>>
>> x <= y e y <= x
>>
>> ¿cuántos números nuevos diferentes pueden definirse a partir de -1,0,1?
>>
>> f) Probar que si
>>
>> x <= y e y <= z,
>>
>> entonces
>>
>> x <=z
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> No entiendo qué significa
>
> "y no es "menor o igual" que ningún elemento de X_L"

Pues eso, ten en cuenta que X_L está formado por números definidos
previamente, y lo mismo ocurre con Y_R, por tanto la comparación de y
con los elementos de X_L es otra comparación de números que, o ya se
sabe cuánto vale o bien lleva a una cascada de comparaciones que termina
siempre en el número original "0".

Por ejemplo: ¿Es 0 "menor o igual" que 0?

0 = < : >

Para comprobar que 0 <= 0 debe ocurrir que

y no es "menor o igual" que ningún elemento de 0_L = {}. Pero 0_L es
el conjunto vacío, luego esta condición se cumple (dicho más llanamente
"ningún elemento de {} es mayor o igual que y". Lo mismo con la otra
relación. Por tanto 0 <= 0.

Utilizo la notación x es "mayor o igual" que y si y es "menor o igual"
que x.

Construimos ahora el número

1 = <0:>

¿Es 0 <= 1?

¿ <:> <= <0:> ?

Pues ningún elemento de 0_L ={} debe ser mayor o igual que 1 --> se
cumple porque {} no tiene ningún elemento.

También debe cumplirse que ningún elemento 1_R = {} debe ser mayor que
0. Se cumple igualmente. Por tanto 0 <= 1

¿Es 1 <= 0?

¿ <0:> <= <:>?

Debe cumplirse que ningún elemento de 1_R = {0} sea mayor o igual que 0.
Pero esto es falso, pues 0 >= 0.

La otra condición, que 0_R = {} no sea menor o igual que 1 sí se cumple.

Por tanto

1 <!= 0

y podemos escribir la condición más estricta

0 < 1





>
> O sea, me falta la definición de la comparación entre y = < Y_L : Y_R >
> y un elemento del conjunto X_L
>
> Saludos,
> Wolfgang


--

Antonio

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:5nmvn7Fj87qcU1***mid.individual.net...
>> Estoy leyendo ahora "Números surreales", la novelilla de Donald Knuth
>> sobre estos números definidos por John Conway (aunque el adjetivo
>> surreales es obra de Knuth, Conway los llamó simplemente "números",
>> aunque luego adoptó la terminología de Knuth).
>>
>> Los números surreales se basan en los siguientes axiomas:
>>
>> 1) Un "número"
>>
>> x = < X_L : X_R >
>>
>> está formado por dos conjuntos (X_L y X_R) de "números" previamente
>> conocidos, tal que ningún elemento de la parte derecha, X_R, es "menor
>> o igual" que cualquier elemento de la parte izquierda, X_L.
>>
>> 2) Un "número" x es "menor o igual" que y
>>
>> x <= y
>>
>> cuando y no es "menor o igual" que ningún elemento de X_L, ni ningún
>> elemento de Y_L es "menor o igual" que x.
>>
>> 3) 0 = < : >
>>
>> (esto es, el "número" llamado "0" es el formado por dos conjuntos vacíos.
>>
>> A partir de estas pocas reglas pueden deducirse todos los números
>> entero, racionales, reales e incluso transfinitos, con todas sus
>> propiedades aritméticas.
>>
>> Para empezar:
>>
>> a) Demostrar que 0 <= 0
>>
>> b) Sean
>>
>> 1 = < 0 : >
>> -1 = < : 0 >
>>
>> Demostrar que
>>
>> -1 <= 0
>>
>> 0 <= 1
>>
>> -1 <= 1
>>
>> Más aun, si definimos
>>
>> y > x
>>
>> como que y no es "menor o igual" que x, probar que
>>
>> 1 > 0 0 > -1 1 > -1
>>
>> c) ¿Es <0:0> un número?
>>
>> d) Demostrar que
>>
>> x = <:X>
>> y = <Y:>
>>
>> son siempre números y verifican
>>
>> x <= y
>>
>> e) Dos números x e y son el mismo número si
>>
>> x <= y e y <= x
>>
>> ¿cuántos números nuevos diferentes pueden definirse a partir de -1,0,1?
>>
>> f) Probar que si
>>
>> x <= y e y <= z,
>>
>> entonces
>>
>> x <=z
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> No entiendo qué significa
>
> "y no es "menor o igual" que ningún elemento de X_L"

Pues eso, ten en cuenta que X_L está formado por números definidos
previamente, y lo mismo ocurre con Y_R, por tanto la comparación de y
con los elementos de X_L es otra comparación de números que, o ya se
sabe cuánto vale o bien lleva a una cascada de comparaciones que termina
siempre en el número original "0".

Por ejemplo: ¿Es 0 "menor o igual" que 0?

0 = < : >

Para comprobar que 0 <= 0 debe ocurrir que

y no es "menor o igual" que ningún elemento de 0_L = {}. Pero 0_L es
el conjunto vacío, luego esta condición se cumple (dicho más llanamente
"ningún elemento de {} es mayor o igual que y". Lo mismo con la otra
relación. Por tanto 0 <= 0.

Utilizo la notación x es "mayor o igual" que y si y es "menor o igual"
que x.

Construimos ahora el número

1 = <0:>

¿Es 0 <= 1?

¿ <:> <= <0:> ?

Pues ningún elemento de 0_L ={} debe ser mayor o igual que 1 --> se
cumple porque {} no tiene ningún elemento.

También debe cumplirse que ningún elemento 1_R = {} debe ser mayor que
0. Se cumple igualmente. Por tanto 0 <= 1

¿Es 1 <= 0?

¿ <0:> <= <:>?

Debe cumplirse que ningún elemento de 1_R = {0} sea mayor o igual que 0.
Pero esto es falso, pues 0 >= 0.

La otra condición, que 0_R = {} no sea menor o igual que 1 sí se cumple.

Por tanto

1 <!= 0

y podemos escribir la condición más estricta

0 < 1





>
> O sea, me falta la definición de la comparación entre y = < Y_L : Y_R >
> y un elemento del conjunto X_L
>
> Saludos,
> Wolfgang


--

Antonio

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
> No entiendo qué significa
>
> "y no es "menor o igual" que ningún elemento de X_L"
>
> O sea, me falta la definición de la comparación entre y = < Y_L : Y_R >
> y un elemento del conjunto X_L
>

Para que no haya ninguna duda te doy las reglas tal como las enuncia
John Conway (el autor de la idea) en su libro "On Numbers and Games"
(otra joya):

CONSTRUCTION:

If L, R are two sets of numbers, and no member of L is ≥ any member
of R then there is a numer {L|R}. All numbers are constructed in this way.

CONVENTION:

If x = {L|R} we write x^L for the typical member of L, and x^R for
the typical member of R. For x itself we then write x = {x^L|x^R}.

x = {a,b,c...|d,e,f,...} means that x ={L|R} where a,b,c,... are the
typical members of L and d,e,f... the typical mebers of R.

DEFINITIONS:

Definition of x ≥ y, x ≤ y.

We say that x ≥ y iff (no x^R ≤ y and x ≤ no y^L), and x ≤ y iff y ≥ x.
We write x !≤ y to mean that x ≤ y does not hold.

Definition of x = y, x > y, x < y.

x = y iff (x ≥ y and x ≤ y). x > y iff (x ≥ y and x !≤ y)
x > y iff y > x.

Definition of x + y

x + y = {x^L + y,x + y^L|x^R + y,x + y^R}

Definition of -x

-x = {-x^R|-x^L}

Definition of xy

x y = {x y^L + y x^L - x^L y^L, x^R y + x y^R - x^R y^R|
|x^L y + x y^R - x^L y^R, x^R y + x y^L - x^R y^L}


FÃ***jate en que la mayorÃ***a de las definiciones son recurrentes. Para sumar
dos números, debemos sumar los elementos que lo componen, lo cual obliga
a sumar los elementos que componen a estos y asÃ*** sucesivamente, hasta
que caemos en el punto de partida que es

0 = {|}
--

Antonio

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
> No entiendo qué significa
>
> "y no es "menor o igual" que ningún elemento de X_L"
>
> O sea, me falta la definición de la comparación entre y = < Y_L : Y_R >
> y un elemento del conjunto X_L
>

Para que no haya ninguna duda te doy las reglas tal como las enuncia
John Conway (el autor de la idea) en su libro "On Numbers and Games"
(otra joya):

CONSTRUCTION:

If L, R are two sets of numbers, and no member of L is ≥ any member
of R then there is a numer {L|R}. All numbers are constructed in this way.

CONVENTION:

If x = {L|R} we write x^L for the typical member of L, and x^R for
the typical member of R. For x itself we then write x = {x^L|x^R}.

x = {a,b,c...|d,e,f,...} means that x ={L|R} where a,b,c,... are the
typical members of L and d,e,f... the typical mebers of R.

DEFINITIONS:

Definition of x ≥ y, x ≤ y.

We say that x ≥ y iff (no x^R ≤ y and x ≤ no y^L), and x ≤ y iff y ≥ x.
We write x !≤ y to mean that x ≤ y does not hold.

Definition of x = y, x > y, x < y.

x = y iff (x ≥ y and x ≤ y). x > y iff (x ≥ y and x !≤ y)
x > y iff y > x.

Definition of x + y

x + y = {x^L + y,x + y^L|x^R + y,x + y^R}

Definition of -x

-x = {-x^R|-x^L}

Definition of xy

x y = {x y^L + y x^L - x^L y^L, x^R y + x y^R - x^R y^R|
|x^L y + x y^R - x^L y^R, x^R y + x y^L - x^R y^L}


FÃ***jate en que la mayorÃ***a de las definiciones son recurrentes. Para sumar
dos números, debemos sumar los elementos que lo componen, lo cual obliga
a sumar los elementos que componen a estos y asÃ*** sucesivamente, hasta
que caemos en el punto de partida que es

0 = {|}
--

Antonio

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
> No entiendo qué significa
>
> "y no es "menor o igual" que ningún elemento de X_L"
>
> O sea, me falta la definición de la comparación entre y = < Y_L : Y_R >
> y un elemento del conjunto X_L
>

Para que no haya ninguna duda te doy las reglas tal como las enuncia
John Conway (el autor de la idea) en su libro "On Numbers and Games"
(otra joya):

CONSTRUCTION:

If L, R are two sets of numbers, and no member of L is ≥ any member
of R then there is a numer {L|R}. All numbers are constructed in this way.

CONVENTION:

If x = {L|R} we write x^L for the typical member of L, and x^R for
the typical member of R. For x itself we then write x = {x^L|x^R}.

x = {a,b,c...|d,e,f,...} means that x ={L|R} where a,b,c,... are the
typical members of L and d,e,f... the typical mebers of R.

DEFINITIONS:

Definition of x ≥ y, x ≤ y.

We say that x ≥ y iff (no x^R ≤ y and x ≤ no y^L), and x ≤ y iff y ≥ x.
We write x !≤ y to mean that x ≤ y does not hold.

Definition of x = y, x > y, x < y.

x = y iff (x ≥ y and x ≤ y). x > y iff (x ≥ y and x !≤ y)
x > y iff y > x.

Definition of x + y

x + y = {x^L + y,x + y^L|x^R + y,x + y^R}

Definition of -x

-x = {-x^R|-x^L}

Definition of xy

x y = {x y^L + y x^L - x^L y^L, x^R y + x y^R - x^R y^R|
|x^L y + x y^R - x^L y^R, x^R y + x y^L - x^R y^L}


FÃ***jate en que la mayorÃ***a de las definiciones son recurrentes. Para sumar
dos números, debemos sumar los elementos que lo componen, lo cual obliga
a sumar los elementos que componen a estos y asÃ*** sucesivamente, hasta
que caemos en el punto de partida que es

0 = {|}
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Antonio