Sean x,y,z números complejos tales que x+y+z=x^5+y^5+z^5=0 y
x^3+y^3+z^3=3.Hallar todos los posibles valores de
x^2007+y^2007+z^2007

Saludos
León-Sotelo

On 18 oct, 08:48, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Sean x,y,z números complejos tales que x+y+z=x^5+y^5+z^5=0 y
> x^3+y^3+z^3=3.Hallar todos los posibles valores de
> x^2007+y^2007+z^2007
>
> Saludos
> León-Sotelo

Esto es más o menos lo mismo de siempre:

Si las raices de un polinomio de tercer grado son x,y,z entonces
sabemos que el polinomio
p(t) = t^3 - (x + y + z)t^2 + (xy + xz + yz)t - xyz

Luego :
x^3 = (x + y + z)x^2 - (xy + xz + yz)x + xyz
y^3 = (x + y + z)y^2 - (xy + xz + yz)y + xyz
z^3 = (x + y + z)z^2 - (xy + xz + yz)z + xyz

Multiplicando por x^2,y^2 y z^2:
x^5 = (x + y + z)x^4 - (xy + xz + yz)x^3 + x^3yz
y^5 = (x + y + z)y^4 - (xy + xz + yz)y^3 + xy^3z
z^5 = (x + y + z)z^4 - (xy + xz + yz)z^3 + xyz^3

Y por otra parte:

(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz)


deducimos entonces que
3 = x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz ---> xyz = 1

0 = x^5 + y^5 + z^5 = -3(xy + xz + yz) + xyz(x^2 + y^2 + z^2)

luego

x^2 + y^2 + z^2 = 3(xy + xz + yz)

puesto que 0 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz) = 5(xy + xz + yz)

Por tanto:

x + y + z = 0
xy + xz + yz = 0
xyz = 1

Lyego x,y,z son las tres raices del polinomio p(t) = t^3 - 1 cuyas
soluciones son las raices cúbicas de la unidad.En cualquier caso,e
independientemente del orden en que las sumemos

x^2007 + y^2007 + z^2007 = 1 + 1 + 1 = 3 pues 2007 es múltiplo de 9.


Saludos.

On 18 oct, 08:48, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Sean x,y,z números complejos tales que x+y+z=x^5+y^5+z^5=0 y
> x^3+y^3+z^3=3.Hallar todos los posibles valores de
> x^2007+y^2007+z^2007
>
> Saludos
> León-Sotelo

Esto es más o menos lo mismo de siempre:

Si las raices de un polinomio de tercer grado son x,y,z entonces
sabemos que el polinomio
p(t) = t^3 - (x + y + z)t^2 + (xy + xz + yz)t - xyz

Luego :
x^3 = (x + y + z)x^2 - (xy + xz + yz)x + xyz
y^3 = (x + y + z)y^2 - (xy + xz + yz)y + xyz
z^3 = (x + y + z)z^2 - (xy + xz + yz)z + xyz

Multiplicando por x^2,y^2 y z^2:
x^5 = (x + y + z)x^4 - (xy + xz + yz)x^3 + x^3yz
y^5 = (x + y + z)y^4 - (xy + xz + yz)y^3 + xy^3z
z^5 = (x + y + z)z^4 - (xy + xz + yz)z^3 + xyz^3

Y por otra parte:

(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz)


deducimos entonces que
3 = x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz ---> xyz = 1

0 = x^5 + y^5 + z^5 = -3(xy + xz + yz) + xyz(x^2 + y^2 + z^2)

luego

x^2 + y^2 + z^2 = 3(xy + xz + yz)

puesto que 0 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz) = 5(xy + xz + yz)

Por tanto:

x + y + z = 0
xy + xz + yz = 0
xyz = 1

Lyego x,y,z son las tres raices del polinomio p(t) = t^3 - 1 cuyas
soluciones son las raices cúbicas de la unidad.En cualquier caso,e
independientemente del orden en que las sumemos

x^2007 + y^2007 + z^2007 = 1 + 1 + 1 = 3 pues 2007 es múltiplo de 9.


Saludos.

On 18 oct, 08:48, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Sean x,y,z números complejos tales que x+y+z=x^5+y^5+z^5=0 y
> x^3+y^3+z^3=3.Hallar todos los posibles valores de
> x^2007+y^2007+z^2007
>
> Saludos
> León-Sotelo

Esto es más o menos lo mismo de siempre:

Si las raices de un polinomio de tercer grado son x,y,z entonces
sabemos que el polinomio
p(t) = t^3 - (x + y + z)t^2 + (xy + xz + yz)t - xyz

Luego :
x^3 = (x + y + z)x^2 - (xy + xz + yz)x + xyz
y^3 = (x + y + z)y^2 - (xy + xz + yz)y + xyz
z^3 = (x + y + z)z^2 - (xy + xz + yz)z + xyz

Multiplicando por x^2,y^2 y z^2:
x^5 = (x + y + z)x^4 - (xy + xz + yz)x^3 + x^3yz
y^5 = (x + y + z)y^4 - (xy + xz + yz)y^3 + xy^3z
z^5 = (x + y + z)z^4 - (xy + xz + yz)z^3 + xyz^3

Y por otra parte:

(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz)


deducimos entonces que
3 = x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz ---> xyz = 1

0 = x^5 + y^5 + z^5 = -3(xy + xz + yz) + xyz(x^2 + y^2 + z^2)

luego

x^2 + y^2 + z^2 = 3(xy + xz + yz)

puesto que 0 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz) = 5(xy + xz + yz)

Por tanto:

x + y + z = 0
xy + xz + yz = 0
xyz = 1

Lyego x,y,z son las tres raices del polinomio p(t) = t^3 - 1 cuyas
soluciones son las raices cúbicas de la unidad.En cualquier caso,e
independientemente del orden en que las sumemos

x^2007 + y^2007 + z^2007 = 1 + 1 + 1 = 3 pues 2007 es múltiplo de 9.


Saludos.

León-Sotelo escribió:
> Sean x,y,z números complejos tales que x+y+z=x^5+y^5+z^5=0 y
> x^3+y^3+z^3=3.Hallar todos los posibles valores de
> x^2007+y^2007+z^2007
>

Sean los números de la forma

a(n) = x^(2n+1) + y^(2n+1) + z^(2n+1) =

Estos números verifican una recurrencia de la forma

a(n+3) = -p a(n+2) - q a(n+1) - r a(n)

siendo p, q y r los coeficientes de la ecuación cúbica

t^3 + p t^2 + q t + r = 0

cuyas soluciones son x, y y z. Esto es

p = -(x+y+z) = 0

q = xy + xz + yz

r = -xyz

Para hallar q y r observamos que

0 = (x+y+z)^3 = 3(x+y+z)(x^2+y^2+z^2) -2(x^3+y^3+z^3) + 6xyz =

= -6 - 6r

--> r = -1

0 = -p^5 = (x + y + z)^5 =

= -5p^3q + 5pq^2 + 5rp^2 - 5rq + (x^5+y^5+z^5) =

= 0 + 0 + 0 +5q + 0

---> q = 0

por lo que la recurrencia es simplemente

a(n+3) = a(n)

Con las c.i.

a(1) = 0

a(2) = a(5) = 0

a(3) = 3

(vemos que a(0) = 3, como debe ser).

Por tanto

a(2007) = a(0 (mod 3)) = 3



--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> Sean x,y,z números complejos tales que x+y+z=x^5+y^5+z^5=0 y
> x^3+y^3+z^3=3.Hallar todos los posibles valores de
> x^2007+y^2007+z^2007
>

Sean los números de la forma

a(n) = x^(2n+1) + y^(2n+1) + z^(2n+1) =

Estos números verifican una recurrencia de la forma

a(n+3) = -p a(n+2) - q a(n+1) - r a(n)

siendo p, q y r los coeficientes de la ecuación cúbica

t^3 + p t^2 + q t + r = 0

cuyas soluciones son x, y y z. Esto es

p = -(x+y+z) = 0

q = xy + xz + yz

r = -xyz

Para hallar q y r observamos que

0 = (x+y+z)^3 = 3(x+y+z)(x^2+y^2+z^2) -2(x^3+y^3+z^3) + 6xyz =

= -6 - 6r

--> r = -1

0 = -p^5 = (x + y + z)^5 =

= -5p^3q + 5pq^2 + 5rp^2 - 5rq + (x^5+y^5+z^5) =

= 0 + 0 + 0 +5q + 0

---> q = 0

por lo que la recurrencia es simplemente

a(n+3) = a(n)

Con las c.i.

a(1) = 0

a(2) = a(5) = 0

a(3) = 3

(vemos que a(0) = 3, como debe ser).

Por tanto

a(2007) = a(0 (mod 3)) = 3



--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> Sean x,y,z números complejos tales que x+y+z=x^5+y^5+z^5=0 y
> x^3+y^3+z^3=3.Hallar todos los posibles valores de
> x^2007+y^2007+z^2007
>

Sean los números de la forma

a(n) = x^(2n+1) + y^(2n+1) + z^(2n+1) =

Estos números verifican una recurrencia de la forma

a(n+3) = -p a(n+2) - q a(n+1) - r a(n)

siendo p, q y r los coeficientes de la ecuación cúbica

t^3 + p t^2 + q t + r = 0

cuyas soluciones son x, y y z. Esto es

p = -(x+y+z) = 0

q = xy + xz + yz

r = -xyz

Para hallar q y r observamos que

0 = (x+y+z)^3 = 3(x+y+z)(x^2+y^2+z^2) -2(x^3+y^3+z^3) + 6xyz =

= -6 - 6r

--> r = -1

0 = -p^5 = (x + y + z)^5 =

= -5p^3q + 5pq^2 + 5rp^2 - 5rq + (x^5+y^5+z^5) =

= 0 + 0 + 0 +5q + 0

---> q = 0

por lo que la recurrencia es simplemente

a(n+3) = a(n)

Con las c.i.

a(1) = 0

a(2) = a(5) = 0

a(3) = 3

(vemos que a(0) = 3, como debe ser).

Por tanto

a(2007) = a(0 (mod 3)) = 3



--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> Sean x,y,z números complejos tales que x+y+z=x^5+y^5+z^5=0 y
> x^3+y^3+z^3=3.Hallar todos los posibles valores de
> x^2007+y^2007+z^2007
>

Por atacarlo de otra manera, ligeramente diferente. Intentaremos
determinar x, y y z.

La simetrÃ***a de las expresiones sugiere el cambio de variables

x = s + t + u

y = s + ω t + ω^2 u

z = s + ω^2 t + ω u

con

ω = e^(2pi i/3)

en términos de estas variables queda

0 = x + y + z = 3s

3 = x^3 + y^3 + z^3 = 3(t^3 + u^3)

--> t^3 + u^3 = 1

0 = x^5 + y^5 + z^5 = 15tu(t^3 + u^3)

Tenemos que s = 0 y que como t^3 + u^3 = 1 debe ser

t = 0 u = 1

o

t = 1 u = 0

que corresponden a

x = 1 y = ω z = ω^2

y a

x = 1 y = ω^2 z = ω

Si en vez de 1 en las soluciones para t y u ponemos ω o ω^2, el
resultado es una rotación de estas. En cualquier caso, resultam las tres
raÃ***ces de la unidad. Lo demás es lo mismo que dijo Javier.



--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> Sean x,y,z números complejos tales que x+y+z=x^5+y^5+z^5=0 y
> x^3+y^3+z^3=3.Hallar todos los posibles valores de
> x^2007+y^2007+z^2007
>

Por atacarlo de otra manera, ligeramente diferente. Intentaremos
determinar x, y y z.

La simetrÃ***a de las expresiones sugiere el cambio de variables

x = s + t + u

y = s + ω t + ω^2 u

z = s + ω^2 t + ω u

con

ω = e^(2pi i/3)

en términos de estas variables queda

0 = x + y + z = 3s

3 = x^3 + y^3 + z^3 = 3(t^3 + u^3)

--> t^3 + u^3 = 1

0 = x^5 + y^5 + z^5 = 15tu(t^3 + u^3)

Tenemos que s = 0 y que como t^3 + u^3 = 1 debe ser

t = 0 u = 1

o

t = 1 u = 0

que corresponden a

x = 1 y = ω z = ω^2

y a

x = 1 y = ω^2 z = ω

Si en vez de 1 en las soluciones para t y u ponemos ω o ω^2, el
resultado es una rotación de estas. En cualquier caso, resultam las tres
raÃ***ces de la unidad. Lo demás es lo mismo que dijo Javier.



--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> Sean x,y,z números complejos tales que x+y+z=x^5+y^5+z^5=0 y
> x^3+y^3+z^3=3.Hallar todos los posibles valores de
> x^2007+y^2007+z^2007
>

Por atacarlo de otra manera, ligeramente diferente. Intentaremos
determinar x, y y z.

La simetrÃ***a de las expresiones sugiere el cambio de variables

x = s + t + u

y = s + ω t + ω^2 u

z = s + ω^2 t + ω u

con

ω = e^(2pi i/3)

en términos de estas variables queda

0 = x + y + z = 3s

3 = x^3 + y^3 + z^3 = 3(t^3 + u^3)

--> t^3 + u^3 = 1

0 = x^5 + y^5 + z^5 = 15tu(t^3 + u^3)

Tenemos que s = 0 y que como t^3 + u^3 = 1 debe ser

t = 0 u = 1

o

t = 1 u = 0

que corresponden a

x = 1 y = ω z = ω^2

y a

x = 1 y = ω^2 z = ω

Si en vez de 1 en las soluciones para t y u ponemos ω o ω^2, el
resultado es una rotación de estas. En cualquier caso, resultam las tres
raÃ***ces de la unidad. Lo demás es lo mismo que dijo Javier.



--

Antonio