Sea f(n) el número de dígitos impares en la representación decimal del
entero n. Hallar
suma(f(2^n)/2^n) de n=1 a infinito.

(Numéricamente, parece converger a 1/9. Por ejemplo la suma hasta n=10
es

1/16 + 1/32 + 1/128 + 1/256 + 2/512 + 1/1024 = 113/1024 = 1/9 -
7/9216.)

Saludos,

jhn

jhnieto***gmail.com escribió:
> Sea f(n) el número de dÃ***gitos impares en la representación decimal del
> entero n. Hallar
> suma(f(2^n)/2^n) de n=1 a infinito.
>
> (Numéricamente, parece converger a 1/9. Por ejemplo la suma hasta n=10
> es
>
> 1/16 + 1/32 + 1/128 + 1/256 + 2/512 + 1/1024 = 113/1024 = 1/9 -
> 7/9216.)
>

Llegando hasta 2^1000 (unos 300 decimales) resulta

0.111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
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11111111111111097

asÃ*** que sÃ***, yo dirÃ***a que tiende a 1/9. :-)

La cosa es que los decimales impares crecen de forma bastante uniforme

http://i28.photobucket.com/albums/c2...00/impares.gif

con lo cual la serie va aser parecida a una aritmético-geométrica.

Repitiendo la jugada para 3^n y para 5^n salen cosas parecidas, pero no
resultan fracciones reconocibles (al menos para mÃ***, ni para el
Rationalize del Mathematica).


--

Antonio

jhnieto***gmail.com escribió:
> Sea f(n) el número de dÃ***gitos impares en la representación decimal del
> entero n. Hallar
> suma(f(2^n)/2^n) de n=1 a infinito.
>
> (Numéricamente, parece converger a 1/9. Por ejemplo la suma hasta n=10
> es
>
> 1/16 + 1/32 + 1/128 + 1/256 + 2/512 + 1/1024 = 113/1024 = 1/9 -
> 7/9216.)
>

Llegando hasta 2^1000 (unos 300 decimales) resulta

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asÃ*** que sÃ***, yo dirÃ***a que tiende a 1/9. :-)

La cosa es que los decimales impares crecen de forma bastante uniforme

http://i28.photobucket.com/albums/c2...00/impares.gif

con lo cual la serie va aser parecida a una aritmético-geométrica.

Repitiendo la jugada para 3^n y para 5^n salen cosas parecidas, pero no
resultan fracciones reconocibles (al menos para mÃ***, ni para el
Rationalize del Mathematica).


--

Antonio

jhnieto***gmail.com escribió:
> Sea f(n) el número de dÃ***gitos impares en la representación decimal del
> entero n. Hallar
> suma(f(2^n)/2^n) de n=1 a infinito.
>
> (Numéricamente, parece converger a 1/9. Por ejemplo la suma hasta n=10
> es
>
> 1/16 + 1/32 + 1/128 + 1/256 + 2/512 + 1/1024 = 113/1024 = 1/9 -
> 7/9216.)
>

Llegando hasta 2^1000 (unos 300 decimales) resulta

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asÃ*** que sÃ***, yo dirÃ***a que tiende a 1/9. :-)

La cosa es que los decimales impares crecen de forma bastante uniforme

http://i28.photobucket.com/albums/c2...00/impares.gif

con lo cual la serie va aser parecida a una aritmético-geométrica.

Repitiendo la jugada para 3^n y para 5^n salen cosas parecidas, pero no
resultan fracciones reconocibles (al menos para mÃ***, ni para el
Rationalize del Mathematica).


--

Antonio

Antonio González escribió:
> jhnieto***gmail.com escribió:
>> Sea f(n) el número de dÃ***gitos impares en la representación decimal del
>> entero n. Hallar
>> suma(f(2^n)/2^n) de n=1 a infinito.
>>
>> (Numéricamente, parece converger a 1/9. Por ejemplo la suma hasta n=10
>> es
>>
>> 1/16 + 1/32 + 1/128 + 1/256 + 2/512 + 1/1024 = 113/1024 = 1/9 -
>> 7/9216.)
>>
>
> Llegando hasta 2^1000 (unos 300 decimales) resulta
>
> 0.111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
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> 11111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
> 11111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
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> 11111111111111097
>
> asÃ*** que sÃ***, yo dirÃ***a que tiende a 1/9. :-)
>
> La cosa es que los decimales impares crecen de forma bastante uniforme
>
> http://i28.photobucket.com/albums/c2...00/impares.gif
>
> con lo cual la serie va a ser parecida a una aritmético-geométrica.
>

Ummm... la cosa es más sutil de lo que creÃ***a. Ajustando una recta de
mÃ***nimos cuadrados a la lista de dÃ***gitos impares frente a n resulta una
recta más o menos igual a 0.15n, pero la suma de 0.15n/2^n es 0.3, muy
alejado de 1/9.
--

Antonio

Antonio González escribió:
> jhnieto***gmail.com escribió:
>> Sea f(n) el número de dÃ***gitos impares en la representación decimal del
>> entero n. Hallar
>> suma(f(2^n)/2^n) de n=1 a infinito.
>>
>> (Numéricamente, parece converger a 1/9. Por ejemplo la suma hasta n=10
>> es
>>
>> 1/16 + 1/32 + 1/128 + 1/256 + 2/512 + 1/1024 = 113/1024 = 1/9 -
>> 7/9216.)
>>
>
> Llegando hasta 2^1000 (unos 300 decimales) resulta
>
> 0.111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
> 11111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
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>
> asÃ*** que sÃ***, yo dirÃ***a que tiende a 1/9. :-)
>
> La cosa es que los decimales impares crecen de forma bastante uniforme
>
> http://i28.photobucket.com/albums/c2...00/impares.gif
>
> con lo cual la serie va a ser parecida a una aritmético-geométrica.
>

Ummm... la cosa es más sutil de lo que creÃ***a. Ajustando una recta de
mÃ***nimos cuadrados a la lista de dÃ***gitos impares frente a n resulta una
recta más o menos igual a 0.15n, pero la suma de 0.15n/2^n es 0.3, muy
alejado de 1/9.
--

Antonio

Antonio González escribió:
> jhnieto***gmail.com escribió:
>> Sea f(n) el número de dÃ***gitos impares en la representación decimal del
>> entero n. Hallar
>> suma(f(2^n)/2^n) de n=1 a infinito.
>>
>> (Numéricamente, parece converger a 1/9. Por ejemplo la suma hasta n=10
>> es
>>
>> 1/16 + 1/32 + 1/128 + 1/256 + 2/512 + 1/1024 = 113/1024 = 1/9 -
>> 7/9216.)
>>
>
> Llegando hasta 2^1000 (unos 300 decimales) resulta
>
> 0.111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
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> asÃ*** que sÃ***, yo dirÃ***a que tiende a 1/9. :-)
>
> La cosa es que los decimales impares crecen de forma bastante uniforme
>
> http://i28.photobucket.com/albums/c2...00/impares.gif
>
> con lo cual la serie va a ser parecida a una aritmético-geométrica.
>

Ummm... la cosa es más sutil de lo que creÃ***a. Ajustando una recta de
mÃ***nimos cuadrados a la lista de dÃ***gitos impares frente a n resulta una
recta más o menos igual a 0.15n, pero la suma de 0.15n/2^n es 0.3, muy
alejado de 1/9.
--

Antonio

On 21 oct, 08:51, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Antonio González escribió:
>
>
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>
>
> > jhni...***gmail.com escribió:
> >> Sea f(n) el número de dígitos impares en la representación decimal del
> >> entero n. Hallar
> >> suma(f(2^n)/2^n) de n=1 a infinito.
>
> >> (Numéricamente, parece converger a 1/9. Por ejemplo la suma hasta n=10
> >> es
>
> >> 1/16 + 1/32 + 1/128 + 1/256 + 2/512 + 1/1024 = 113/1024 = 1/9 -
> >> 7/9216.)
>
> > Llegando hasta 2^1000 (unos 300 decimales) resulta
>
> > 0.111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
> > 11111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
> > 11111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
> > 11111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
> > 11111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
> > 11111111111111097
>
> > así que sí, yo diría que tiende a 1/9. :-)
>
> > La cosa es que los decimales impares crecen de forma bastante uniforme
>
> >http://i28.photobucket.com/albums/c2...00/impares.gif
>
> > con lo cual la serie va a ser parecida a una aritmético-geométrica.
>
> Ummm... la cosa es más sutil de lo que creía. Ajustando una recta de
> mínimos cuadrados a la lista de dígitos impares frente a n resulta una
> recta más o menos igual a 0.15n, pero la suma de 0.15n/2^n es 0.3, muy
> alejado de 1/9.
> --
>
> Antonio- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -

Es que los primeros 2 o 3 términos influyen mucho...

Yo agrupé de a 4 y obtuve algo aparentemente prometedor:

suma(f(2^n)/2^n, n=1..4) = 1/16,
suma(f(2^n)/2^n, n=5..8) = 11/16^2,
suma(f(2^n)/2^n, n=9..12) = 21/16^3,
suma(f(2^n)/2^n, n=13..16) = 31/16^4,
suma(f(2^n)/2^n, n=17..20) = 41/16^5,
suma(f(2^n)/2^n, n=21..24) = 51/16^6,
suma(f(2^n)/2^n, n=25..28) = 61/16^7,

y la serie aritmético geométrica 1/16 + 11/16^2 +...
suma 1/9!

Pero si seguimos:

suma(f(2^n)/2^n, n=29..32) = 70/16^8,
suma(f(2^n)/2^n, n=33..36) = 96/16^9,
suma(f(2^n)/2^n, n=37..40) = 107/16^10,

:-(

Saludos,

jhn

On 21 oct, 08:51, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Antonio González escribió:
>
>
>
>
>
> > jhni...***gmail.com escribió:
> >> Sea f(n) el número de dígitos impares en la representación decimal del
> >> entero n. Hallar
> >> suma(f(2^n)/2^n) de n=1 a infinito.
>
> >> (Numéricamente, parece converger a 1/9. Por ejemplo la suma hasta n=10
> >> es
>
> >> 1/16 + 1/32 + 1/128 + 1/256 + 2/512 + 1/1024 = 113/1024 = 1/9 -
> >> 7/9216.)
>
> > Llegando hasta 2^1000 (unos 300 decimales) resulta
>
> > 0.111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
> > 11111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
> > 11111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
> > 11111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
> > 11111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
> > 11111111111111097
>
> > así que sí, yo diría que tiende a 1/9. :-)
>
> > La cosa es que los decimales impares crecen de forma bastante uniforme
>
> >http://i28.photobucket.com/albums/c2...00/impares.gif
>
> > con lo cual la serie va a ser parecida a una aritmético-geométrica.
>
> Ummm... la cosa es más sutil de lo que creía. Ajustando una recta de
> mínimos cuadrados a la lista de dígitos impares frente a n resulta una
> recta más o menos igual a 0.15n, pero la suma de 0.15n/2^n es 0.3, muy
> alejado de 1/9.
> --
>
> Antonio- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -

Es que los primeros 2 o 3 términos influyen mucho...

Yo agrupé de a 4 y obtuve algo aparentemente prometedor:

suma(f(2^n)/2^n, n=1..4) = 1/16,
suma(f(2^n)/2^n, n=5..8) = 11/16^2,
suma(f(2^n)/2^n, n=9..12) = 21/16^3,
suma(f(2^n)/2^n, n=13..16) = 31/16^4,
suma(f(2^n)/2^n, n=17..20) = 41/16^5,
suma(f(2^n)/2^n, n=21..24) = 51/16^6,
suma(f(2^n)/2^n, n=25..28) = 61/16^7,

y la serie aritmético geométrica 1/16 + 11/16^2 +...
suma 1/9!

Pero si seguimos:

suma(f(2^n)/2^n, n=29..32) = 70/16^8,
suma(f(2^n)/2^n, n=33..36) = 96/16^9,
suma(f(2^n)/2^n, n=37..40) = 107/16^10,

:-(

Saludos,

jhn

On 21 oct, 08:51, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Antonio González escribió:
>
>
>
>
>
> > jhni...***gmail.com escribió:
> >> Sea f(n) el número de dígitos impares en la representación decimal del
> >> entero n. Hallar
> >> suma(f(2^n)/2^n) de n=1 a infinito.
>
> >> (Numéricamente, parece converger a 1/9. Por ejemplo la suma hasta n=10
> >> es
>
> >> 1/16 + 1/32 + 1/128 + 1/256 + 2/512 + 1/1024 = 113/1024 = 1/9 -
> >> 7/9216.)
>
> > Llegando hasta 2^1000 (unos 300 decimales) resulta
>
> > 0.111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
> > 11111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
> > 11111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
> > 11111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
> > 11111111111111111111111111111111111111111111111111 1111111
> > 11111111111111097
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> > así que sí, yo diría que tiende a 1/9. :-)
>
> > La cosa es que los decimales impares crecen de forma bastante uniforme
>
> >http://i28.photobucket.com/albums/c2...00/impares.gif
>
> > con lo cual la serie va a ser parecida a una aritmético-geométrica.
>
> Ummm... la cosa es más sutil de lo que creía. Ajustando una recta de
> mínimos cuadrados a la lista de dígitos impares frente a n resulta una
> recta más o menos igual a 0.15n, pero la suma de 0.15n/2^n es 0.3, muy
> alejado de 1/9.
> --
>
> Antonio- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -

Es que los primeros 2 o 3 términos influyen mucho...

Yo agrupé de a 4 y obtuve algo aparentemente prometedor:

suma(f(2^n)/2^n, n=1..4) = 1/16,
suma(f(2^n)/2^n, n=5..8) = 11/16^2,
suma(f(2^n)/2^n, n=9..12) = 21/16^3,
suma(f(2^n)/2^n, n=13..16) = 31/16^4,
suma(f(2^n)/2^n, n=17..20) = 41/16^5,
suma(f(2^n)/2^n, n=21..24) = 51/16^6,
suma(f(2^n)/2^n, n=25..28) = 61/16^7,

y la serie aritmético geométrica 1/16 + 11/16^2 +...
suma 1/9!

Pero si seguimos:

suma(f(2^n)/2^n, n=29..32) = 70/16^8,
suma(f(2^n)/2^n, n=33..36) = 96/16^9,
suma(f(2^n)/2^n, n=37..40) = 107/16^10,

:-(

Saludos,

jhn