Cuál sería la inversa de la circuferencia de radio 2 centrada en
(0,0)???

Muchas gracias!!

mercedes escribió:
> Cuál serÃ***a la inversa de la circuferencia de radio 2 centrada en
> (0,0)???
>

¿con qué radio de inversión? ¿Con qué centro de inversión?

En cualquier caso será otra circunferencia (salvo que resulte una recta,
que se puede tomar como caso particular de circunferencia), pero su
nuevo centro y su radio dependerá de respecto a donde se realice la
inversión y con que radio.

En el caso de una inversión "canónica", de centro (0,0) y radio 1, la
circunferencia que das se transforma en otra circunferencia, también de
centro (0,0) y radio 1/2.

--

Antonio

mercedes escribió:
> Cuál serÃ***a la inversa de la circuferencia de radio 2 centrada en
> (0,0)???
>

¿con qué radio de inversión? ¿Con qué centro de inversión?

En cualquier caso será otra circunferencia (salvo que resulte una recta,
que se puede tomar como caso particular de circunferencia), pero su
nuevo centro y su radio dependerá de respecto a donde se realice la
inversión y con que radio.

En el caso de una inversión "canónica", de centro (0,0) y radio 1, la
circunferencia que das se transforma en otra circunferencia, también de
centro (0,0) y radio 1/2.

--

Antonio

mercedes escribió:
> Cuál serÃ***a la inversa de la circuferencia de radio 2 centrada en
> (0,0)???
>

¿con qué radio de inversión? ¿Con qué centro de inversión?

En cualquier caso será otra circunferencia (salvo que resulte una recta,
que se puede tomar como caso particular de circunferencia), pero su
nuevo centro y su radio dependerá de respecto a donde se realice la
inversión y con que radio.

En el caso de una inversión "canónica", de centro (0,0) y radio 1, la
circunferencia que das se transforma en otra circunferencia, también de
centro (0,0) y radio 1/2.

--

Antonio

On 21 oct, 11:43, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> mercedes escribió:
>
> > Cuál sería la inversa de la circuferencia de radio 2 centrada en
> > (0,0)???
>
> ¿con qué radio de inversión? ¿Con qué centro de inversión?
>
> En cualquier caso será otra circunferencia (salvo que resulte una recta,
> que se puede tomar como caso particular de circunferencia), pero su
> nuevo centro y su radio dependerá de respecto a donde se realice la
> inversión y con que radio.
>
> En el caso de una inversión "canónica", de centro (0,0) y radio 1, la
> circunferencia que das se transforma en otra circunferencia, también de
> centro (0,0) y radio 1/2.
>
> --
>
> Antonio

Pero ,como saber en que se transforma???

On 21 oct, 11:43, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> mercedes escribió:
>
> > Cuál sería la inversa de la circuferencia de radio 2 centrada en
> > (0,0)???
>
> ¿con qué radio de inversión? ¿Con qué centro de inversión?
>
> En cualquier caso será otra circunferencia (salvo que resulte una recta,
> que se puede tomar como caso particular de circunferencia), pero su
> nuevo centro y su radio dependerá de respecto a donde se realice la
> inversión y con que radio.
>
> En el caso de una inversión "canónica", de centro (0,0) y radio 1, la
> circunferencia que das se transforma en otra circunferencia, también de
> centro (0,0) y radio 1/2.
>
> --
>
> Antonio

Pero ,como saber en que se transforma???

On 21 oct, 11:43, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> mercedes escribió:
>
> > Cuál sería la inversa de la circuferencia de radio 2 centrada en
> > (0,0)???
>
> ¿con qué radio de inversión? ¿Con qué centro de inversión?
>
> En cualquier caso será otra circunferencia (salvo que resulte una recta,
> que se puede tomar como caso particular de circunferencia), pero su
> nuevo centro y su radio dependerá de respecto a donde se realice la
> inversión y con que radio.
>
> En el caso de una inversión "canónica", de centro (0,0) y radio 1, la
> circunferencia que das se transforma en otra circunferencia, también de
> centro (0,0) y radio 1/2.
>
> --
>
> Antonio

Pero ,como saber en que se transforma???

mercedes escribió:
> On 21 oct, 11:43, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> mercedes escribió:
>>
>>> Cuál serÃ***a la inversa de la circuferencia de radio 2 centrada en
>>> (0,0)???
>> ¿con qué radio de inversión? ¿Con qué centro de inversión?
>>
>> En cualquier caso será otra circunferencia (salvo que resulte una recta,
>> que se puede tomar como caso particular de circunferencia), pero su
>> nuevo centro y su radio dependerá de respecto a donde se realice la
>> inversión y con que radio.
>>
>> En el caso de una inversión "canónica", de centro (0,0) y radio 1, la
>> circunferencia que das se transforma en otra circunferencia, también de
>> centro (0,0) y radio 1/2.
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> Pero ,como saber en que se transforma???
>

Sin usar variable compleja, sino álgebra vectorial:

Sea r (vector) la posición de punto. Tras una inversión respecto a un
punto r0 (vector) y con radio de inversión R (escalar) se transforma en

r' = r0 + R^2(r-r0)/|r-r0|^2

La explicación de esta fórmula es que

|r' - r0| = R^2/|r-r0|

(r' - r0) || (r - r0)

es decir que, respecto a r0 resulta un vector transformado proporcional
al original y de módulo inversamente proporcional.

Ahora, supongamos que r pertenece a una circunferencia, esto es, que
verifica

|r - C| = a

o, equivalentemente

|r - r0 - (C-r0)| = a

o, lo que es lo mismo, elevando al cuadrado:

|r - r0|^2 - 2(r-r0)·(C-r0) + |C - r0|^2 - a^2 = 0

Veamos ahora que posiciones ocupan los puntos transformados de la
circunferencia original

r' - r0 = R^2(r-r0)/|r - r0|^2

Vamos a demostrar que estos puntos también deben formar parte de una
circunferencia, esto es, que verifican

|r' - r0|^2 - 2(r'- r0)·(C' - r0) + |C'-r0|^2 - b^2 = 0

Sustituyendo las relaciones de transformación queda

R^4/|r - r0|^2 - 2R^2(r-r0)·(C'-r0)/|r - r0|^2 + |C' - r0|^2 - b^2 = 0

Multiplicando por |r-r0|^2

R^4 - 2R^2(r-r0)·(C'-r0) + (|C'-r0|^2 - b^2)|r - r0|^2 = 0

Dividiendo por (|C'-r0|^2 - b^2) queda

|r - r0|^2 - 2(r-r0)·(C'-r0)R^2/(|C'-r0|^2 - b^2) +

+ R^4/(|C'-r0|^2 - b^2) = 0

que es la misma ecuación que (#1) si identificamos

(C' - r0)R^2/(|C'-r0|^2 - b^2) = (C - r0)

R^4/(|C'-r0|^2 - b^2) = |C-r0|^2 - a^2

De aquÃ*** resultan las relaciones inversas

C' = r0 + (C - r0)R^2/(|C-r0|^2 - a^2)

b = rq(|C' - r0|^2 - R^4/(|C-r0|^2 - a^2)) =

= R^2 a/||C-r0|^2 - a^2|

esto es, una circunferencia de centro C y radio a, se transforma en una
de centro C' y radio b, dados por las relaciones anteriores (nótese que
C' no es el transformado de C).

Casos particulares:

1) Inversión respecto al origen. Hacemos r0 = 0

C' = C R^2/(|C|^2 - a^2)

b = R^2 a/||C|^2 - a^2|

1.1 si la circunferencia tiene centro el propio origen queda

C' = 0

b = R^2/a

1.2 Si la circunferencia pasa por el origen |C| = a queda

C' → ∞

b → ∞

|C'|/b = |C|/a = 1

y la circunferencia se transforma en una recta que pasa por el origen

2) Inversion respecto a la propia circunferencia

Si

r0 = C R = a

queda

C' = C

b = a

esto es, la circunferencia no se transforma por una inversión respecto a
sÃ*** misma.



--

Antonio

mercedes escribió:
> On 21 oct, 11:43, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> mercedes escribió:
>>
>>> Cuál serÃ***a la inversa de la circuferencia de radio 2 centrada en
>>> (0,0)???
>> ¿con qué radio de inversión? ¿Con qué centro de inversión?
>>
>> En cualquier caso será otra circunferencia (salvo que resulte una recta,
>> que se puede tomar como caso particular de circunferencia), pero su
>> nuevo centro y su radio dependerá de respecto a donde se realice la
>> inversión y con que radio.
>>
>> En el caso de una inversión "canónica", de centro (0,0) y radio 1, la
>> circunferencia que das se transforma en otra circunferencia, también de
>> centro (0,0) y radio 1/2.
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> Pero ,como saber en que se transforma???
>

Sin usar variable compleja, sino álgebra vectorial:

Sea r (vector) la posición de punto. Tras una inversión respecto a un
punto r0 (vector) y con radio de inversión R (escalar) se transforma en

r' = r0 + R^2(r-r0)/|r-r0|^2

La explicación de esta fórmula es que

|r' - r0| = R^2/|r-r0|

(r' - r0) || (r - r0)

es decir que, respecto a r0 resulta un vector transformado proporcional
al original y de módulo inversamente proporcional.

Ahora, supongamos que r pertenece a una circunferencia, esto es, que
verifica

|r - C| = a

o, equivalentemente

|r - r0 - (C-r0)| = a

o, lo que es lo mismo, elevando al cuadrado:

|r - r0|^2 - 2(r-r0)·(C-r0) + |C - r0|^2 - a^2 = 0

Veamos ahora que posiciones ocupan los puntos transformados de la
circunferencia original

r' - r0 = R^2(r-r0)/|r - r0|^2

Vamos a demostrar que estos puntos también deben formar parte de una
circunferencia, esto es, que verifican

|r' - r0|^2 - 2(r'- r0)·(C' - r0) + |C'-r0|^2 - b^2 = 0

Sustituyendo las relaciones de transformación queda

R^4/|r - r0|^2 - 2R^2(r-r0)·(C'-r0)/|r - r0|^2 + |C' - r0|^2 - b^2 = 0

Multiplicando por |r-r0|^2

R^4 - 2R^2(r-r0)·(C'-r0) + (|C'-r0|^2 - b^2)|r - r0|^2 = 0

Dividiendo por (|C'-r0|^2 - b^2) queda

|r - r0|^2 - 2(r-r0)·(C'-r0)R^2/(|C'-r0|^2 - b^2) +

+ R^4/(|C'-r0|^2 - b^2) = 0

que es la misma ecuación que (#1) si identificamos

(C' - r0)R^2/(|C'-r0|^2 - b^2) = (C - r0)

R^4/(|C'-r0|^2 - b^2) = |C-r0|^2 - a^2

De aquÃ*** resultan las relaciones inversas

C' = r0 + (C - r0)R^2/(|C-r0|^2 - a^2)

b = rq(|C' - r0|^2 - R^4/(|C-r0|^2 - a^2)) =

= R^2 a/||C-r0|^2 - a^2|

esto es, una circunferencia de centro C y radio a, se transforma en una
de centro C' y radio b, dados por las relaciones anteriores (nótese que
C' no es el transformado de C).

Casos particulares:

1) Inversión respecto al origen. Hacemos r0 = 0

C' = C R^2/(|C|^2 - a^2)

b = R^2 a/||C|^2 - a^2|

1.1 si la circunferencia tiene centro el propio origen queda

C' = 0

b = R^2/a

1.2 Si la circunferencia pasa por el origen |C| = a queda

C' → ∞

b → ∞

|C'|/b = |C|/a = 1

y la circunferencia se transforma en una recta que pasa por el origen

2) Inversion respecto a la propia circunferencia

Si

r0 = C R = a

queda

C' = C

b = a

esto es, la circunferencia no se transforma por una inversión respecto a
sÃ*** misma.



--

Antonio

mercedes escribió:
> On 21 oct, 11:43, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> mercedes escribió:
>>
>>> Cuál serÃ***a la inversa de la circuferencia de radio 2 centrada en
>>> (0,0)???
>> ¿con qué radio de inversión? ¿Con qué centro de inversión?
>>
>> En cualquier caso será otra circunferencia (salvo que resulte una recta,
>> que se puede tomar como caso particular de circunferencia), pero su
>> nuevo centro y su radio dependerá de respecto a donde se realice la
>> inversión y con que radio.
>>
>> En el caso de una inversión "canónica", de centro (0,0) y radio 1, la
>> circunferencia que das se transforma en otra circunferencia, también de
>> centro (0,0) y radio 1/2.
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> Pero ,como saber en que se transforma???
>

Sin usar variable compleja, sino álgebra vectorial:

Sea r (vector) la posición de punto. Tras una inversión respecto a un
punto r0 (vector) y con radio de inversión R (escalar) se transforma en

r' = r0 + R^2(r-r0)/|r-r0|^2

La explicación de esta fórmula es que

|r' - r0| = R^2/|r-r0|

(r' - r0) || (r - r0)

es decir que, respecto a r0 resulta un vector transformado proporcional
al original y de módulo inversamente proporcional.

Ahora, supongamos que r pertenece a una circunferencia, esto es, que
verifica

|r - C| = a

o, equivalentemente

|r - r0 - (C-r0)| = a

o, lo que es lo mismo, elevando al cuadrado:

|r - r0|^2 - 2(r-r0)·(C-r0) + |C - r0|^2 - a^2 = 0

Veamos ahora que posiciones ocupan los puntos transformados de la
circunferencia original

r' - r0 = R^2(r-r0)/|r - r0|^2

Vamos a demostrar que estos puntos también deben formar parte de una
circunferencia, esto es, que verifican

|r' - r0|^2 - 2(r'- r0)·(C' - r0) + |C'-r0|^2 - b^2 = 0

Sustituyendo las relaciones de transformación queda

R^4/|r - r0|^2 - 2R^2(r-r0)·(C'-r0)/|r - r0|^2 + |C' - r0|^2 - b^2 = 0

Multiplicando por |r-r0|^2

R^4 - 2R^2(r-r0)·(C'-r0) + (|C'-r0|^2 - b^2)|r - r0|^2 = 0

Dividiendo por (|C'-r0|^2 - b^2) queda

|r - r0|^2 - 2(r-r0)·(C'-r0)R^2/(|C'-r0|^2 - b^2) +

+ R^4/(|C'-r0|^2 - b^2) = 0

que es la misma ecuación que (#1) si identificamos

(C' - r0)R^2/(|C'-r0|^2 - b^2) = (C - r0)

R^4/(|C'-r0|^2 - b^2) = |C-r0|^2 - a^2

De aquÃ*** resultan las relaciones inversas

C' = r0 + (C - r0)R^2/(|C-r0|^2 - a^2)

b = rq(|C' - r0|^2 - R^4/(|C-r0|^2 - a^2)) =

= R^2 a/||C-r0|^2 - a^2|

esto es, una circunferencia de centro C y radio a, se transforma en una
de centro C' y radio b, dados por las relaciones anteriores (nótese que
C' no es el transformado de C).

Casos particulares:

1) Inversión respecto al origen. Hacemos r0 = 0

C' = C R^2/(|C|^2 - a^2)

b = R^2 a/||C|^2 - a^2|

1.1 si la circunferencia tiene centro el propio origen queda

C' = 0

b = R^2/a

1.2 Si la circunferencia pasa por el origen |C| = a queda

C' → ∞

b → ∞

|C'|/b = |C|/a = 1

y la circunferencia se transforma en una recta que pasa por el origen

2) Inversion respecto a la propia circunferencia

Si

r0 = C R = a

queda

C' = C

b = a

esto es, la circunferencia no se transforma por una inversión respecto a
sÃ*** misma.



--

Antonio