Hola

Me pierdo en algunos de los pasos que has expuesto para resolver el problema
de la
suma de la serie de f(2^n)/2^n.
A ver si puedes aclararme algunas cosas que me gustaría entender bien.

Lo primero es saber por qué se cumple que el número de acarreos de
multiplicar 2
por 2^(n-1) es precisamente el número de dígitos impares en 2^n.
Además, supongo que los acarreos no siempre serán de "llevarse una", sino
que puede
haber algún acarreo de" llevarse dos", por ejemplo, ¿ no ?

Entiendo que 2s(2^(n-1)) - s(2^n) dé un número entero al dividirlo entre 9,
pues
se hace uso del conocido resultado de que todo número es congruente con la
suma
de sus cifras módulo 9.
Lo que no veo es por qué se verifica la igualdad f(2^n) = ( 2s(2^(n-1)) -
s(2^n) ) / 9.

Por último, la serie infinita de 1/2^n es la unidad pero,
¿ por qué la serie infinita de s(2^n)/2^n es igual a 1 también ?

Todas estas dudas deben ser "triviales", pero no consigo verlo. Ojalá puedas
iluminarme.

Un saludo y gracias.

Luis escribió:
> Hola

Luis, no es por nada, pero no hace falta que dirijas los mensajes a
personas en concreto. Simplemente cuélgate de sus mensajes y opina lo
que quieras. AsÃ*** los demás podemos intervenir tranquilamente.

--

Antonio

Luis escribió:
> Hola

Luis, no es por nada, pero no hace falta que dirijas los mensajes a
personas en concreto. Simplemente cuélgate de sus mensajes y opina lo
que quieras. AsÃ*** los demás podemos intervenir tranquilamente.

--

Antonio

Luis escribió:
> Hola

Luis, no es por nada, pero no hace falta que dirijas los mensajes a
personas en concreto. Simplemente cuélgate de sus mensajes y opina lo
que quieras. AsÃ*** los demás podemos intervenir tranquilamente.

--

Antonio

Ah, vale. No era mi intención restringir ninguna opinón.
Únicamente quería llamar la atención sobre la persona que resolvió el
problema y que fue propuesto
hace un par de días.
Por supuesto, cualquier aclaración de cualquiera de vosotros será bien
recibida.
Saludos,

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:5o86ucFleq2iU1***mid.individual.net...
> Luis escribió:
>> Hola
>
> Luis, no es por nada, pero no hace falta que dirijas los mensajes a
> personas en concreto. Simplemente cuélgate de sus mensajes y opina lo que
> quieras. Así los demás podemos intervenir tranquilamente.
>
> --
>
> Antonio
>

Ah, vale. No era mi intención restringir ninguna opinón.
Únicamente quería llamar la atención sobre la persona que resolvió el
problema y que fue propuesto
hace un par de días.
Por supuesto, cualquier aclaración de cualquiera de vosotros será bien
recibida.
Saludos,

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:5o86ucFleq2iU1***mid.individual.net...
> Luis escribió:
>> Hola
>
> Luis, no es por nada, pero no hace falta que dirijas los mensajes a
> personas en concreto. Simplemente cuélgate de sus mensajes y opina lo que
> quieras. Así los demás podemos intervenir tranquilamente.
>
> --
>
> Antonio
>

Ah, vale. No era mi intención restringir ninguna opinón.
Únicamente quería llamar la atención sobre la persona que resolvió el
problema y que fue propuesto
hace un par de días.
Por supuesto, cualquier aclaración de cualquiera de vosotros será bien
recibida.
Saludos,

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:5o86ucFleq2iU1***mid.individual.net...
> Luis escribió:
>> Hola
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> Luis, no es por nada, pero no hace falta que dirijas los mensajes a
> personas en concreto. Simplemente cuélgate de sus mensajes y opina lo que
> quieras. Así los demás podemos intervenir tranquilamente.
>
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>
> Antonio
>

On 24 oct, 04:37, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> Ah, vale. No era mi intención restringir ninguna opinón.
> Únicamente quería llamar la atención sobre la persona que resolvió el
> problema y que fue propuesto
> hace un par de días.
> Por supuesto, cualquier aclaración de cualquiera de vosotros será bien
> recibida.
> Saludos,
>
> "Antonio González" <gonfe...***gmail.com> escribió en el mensajenews:5o86ucFleq2iU1***mid.individual.net...
>
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> > Luis escribió:
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> > Luis, no es por nada, pero no hace falta que dirijas los mensajes a
> > personas en concreto. Simplemente cuélgate de sus mensajes y opina loque
> > quieras. Así los demás podemos intervenir tranquilamente.
>
> > --
>
> > Antonio- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -


Bueno, mi mensaje anterior era sólo un esbozo de
la solución. Ahora voy a tratar de explicarlo mejor,
comenzando por algunos preliminares.

1) Al multiplicar un número A por 2, o lo que es lo mismo
al sumar A + A, lo más que te puedes llevar es 1. En efecto,
la suma de los dígitos a la derecha es a lo sumo 9+9=18, y
de ahí en adelante en ninguna columna la suma pasará de
9+9+1=19, es decir que si hay acarreo sólo puede ser 1.

2) Si la representación decimal de A es a_k ... a_1 a_0,
entonces al sumar A + A, en la columna i tendremos 2a_i + 1
ó 2a_i, según que me haya llevado 1 o no en la columna i-1.
Es decir que el i-simo dígito de 2A es impar si y sólo si
hubo acarreo en la columna i-1, y el número total de
dígitos impares en 2A es igual al número total de acarreos.

3) Supongamos que al sumar A+A no haya acarreos.
Entonces la representación decimal de 2A es
2a_k ... 2a_1 2a_0, y s(2A) = 2a_k +...+ 2a_1 + 2a_0
= 2(a_k +...+ a_1 + a_0) = 2s(A).
En cambio si hay acarreos, cada uno de ellos hace que s(2A)
disminuya en 9 unidades respecto a 2s(A). En efecto, si
c_0, c_1,...,c_k son los acarreos (que pueden ser 0 ó 1),
entonces los dígitos de 2A serán

c_k, 2a_k - 10c_k +c_{k-1},..., 2a_1 - 10c_1 +c_0, 2a_0 - 10c_0

y por lo tanto s(2A) = 2(a_k +...+ a_0) - 9(c_k +...+ c_0),
es decir que 2s(A) - s(2A) = 9(c_k +...+ c_0)
y el número total de acarreos es
c_k +...+ c_0 = (2s(A) - s(2A))/9.

4) Ahora ya podemos entrar en materia. Como f(2^n) es el
número de dígitos impares en 2^n, por (2) debe ser igual
al número de acarreos que se realizan al sumar 2^{n-1} + 2^{n-1},
y por (3) esto es igual a (2s(2^{n-1}) - s(2^n))/9.
Es decir que

suma(f(2^n)/2^n, n=1 a infinito)
= suma((2s(2^{n-1}) - s(2^n))/(9*2^n), n=1 a infinito)
= (1/9)suma(s(2^{n-1})/2^{n-1} - s(2^n))/2^n, n=1 a infinito)
= 1/9(s(1)/1 - s(2)/2 + s(2)/2 - s(4)/4 + s(4)/4 - s(8)/8 +...)
= 1/9(s(1)) = 1/9.

La convergencia de la serie telescópica
está asegurada ya que 0<= s(2^n) <= 9(log_10(2^n) + 1)
y por tanto s(2^n)/2^n --> 0 para n--> infinito.

Saludos,

jhn

On 24 oct, 04:37, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> Ah, vale. No era mi intención restringir ninguna opinón.
> Únicamente quería llamar la atención sobre la persona que resolvió el
> problema y que fue propuesto
> hace un par de días.
> Por supuesto, cualquier aclaración de cualquiera de vosotros será bien
> recibida.
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> "Antonio González" <gonfe...***gmail.com> escribió en el mensajenews:5o86ucFleq2iU1***mid.individual.net...
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>
> > Luis, no es por nada, pero no hace falta que dirijas los mensajes a
> > personas en concreto. Simplemente cuélgate de sus mensajes y opina loque
> > quieras. Así los demás podemos intervenir tranquilamente.
>
> > --
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Bueno, mi mensaje anterior era sólo un esbozo de
la solución. Ahora voy a tratar de explicarlo mejor,
comenzando por algunos preliminares.

1) Al multiplicar un número A por 2, o lo que es lo mismo
al sumar A + A, lo más que te puedes llevar es 1. En efecto,
la suma de los dígitos a la derecha es a lo sumo 9+9=18, y
de ahí en adelante en ninguna columna la suma pasará de
9+9+1=19, es decir que si hay acarreo sólo puede ser 1.

2) Si la representación decimal de A es a_k ... a_1 a_0,
entonces al sumar A + A, en la columna i tendremos 2a_i + 1
ó 2a_i, según que me haya llevado 1 o no en la columna i-1.
Es decir que el i-simo dígito de 2A es impar si y sólo si
hubo acarreo en la columna i-1, y el número total de
dígitos impares en 2A es igual al número total de acarreos.

3) Supongamos que al sumar A+A no haya acarreos.
Entonces la representación decimal de 2A es
2a_k ... 2a_1 2a_0, y s(2A) = 2a_k +...+ 2a_1 + 2a_0
= 2(a_k +...+ a_1 + a_0) = 2s(A).
En cambio si hay acarreos, cada uno de ellos hace que s(2A)
disminuya en 9 unidades respecto a 2s(A). En efecto, si
c_0, c_1,...,c_k son los acarreos (que pueden ser 0 ó 1),
entonces los dígitos de 2A serán

c_k, 2a_k - 10c_k +c_{k-1},..., 2a_1 - 10c_1 +c_0, 2a_0 - 10c_0

y por lo tanto s(2A) = 2(a_k +...+ a_0) - 9(c_k +...+ c_0),
es decir que 2s(A) - s(2A) = 9(c_k +...+ c_0)
y el número total de acarreos es
c_k +...+ c_0 = (2s(A) - s(2A))/9.

4) Ahora ya podemos entrar en materia. Como f(2^n) es el
número de dígitos impares en 2^n, por (2) debe ser igual
al número de acarreos que se realizan al sumar 2^{n-1} + 2^{n-1},
y por (3) esto es igual a (2s(2^{n-1}) - s(2^n))/9.
Es decir que

suma(f(2^n)/2^n, n=1 a infinito)
= suma((2s(2^{n-1}) - s(2^n))/(9*2^n), n=1 a infinito)
= (1/9)suma(s(2^{n-1})/2^{n-1} - s(2^n))/2^n, n=1 a infinito)
= 1/9(s(1)/1 - s(2)/2 + s(2)/2 - s(4)/4 + s(4)/4 - s(8)/8 +...)
= 1/9(s(1)) = 1/9.

La convergencia de la serie telescópica
está asegurada ya que 0<= s(2^n) <= 9(log_10(2^n) + 1)
y por tanto s(2^n)/2^n --> 0 para n--> infinito.

Saludos,

jhn

On 24 oct, 04:37, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> Ah, vale. No era mi intención restringir ninguna opinón.
> Únicamente quería llamar la atención sobre la persona que resolvió el
> problema y que fue propuesto
> hace un par de días.
> Por supuesto, cualquier aclaración de cualquiera de vosotros será bien
> recibida.
> Saludos,
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> "Antonio González" <gonfe...***gmail.com> escribió en el mensajenews:5o86ucFleq2iU1***mid.individual.net...
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> > Luis escribió:
> >> Hola
>
> > Luis, no es por nada, pero no hace falta que dirijas los mensajes a
> > personas en concreto. Simplemente cuélgate de sus mensajes y opina loque
> > quieras. Así los demás podemos intervenir tranquilamente.
>
> > --
>
> > Antonio- Ocultar texto de la cita -
>
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Bueno, mi mensaje anterior era sólo un esbozo de
la solución. Ahora voy a tratar de explicarlo mejor,
comenzando por algunos preliminares.

1) Al multiplicar un número A por 2, o lo que es lo mismo
al sumar A + A, lo más que te puedes llevar es 1. En efecto,
la suma de los dígitos a la derecha es a lo sumo 9+9=18, y
de ahí en adelante en ninguna columna la suma pasará de
9+9+1=19, es decir que si hay acarreo sólo puede ser 1.

2) Si la representación decimal de A es a_k ... a_1 a_0,
entonces al sumar A + A, en la columna i tendremos 2a_i + 1
ó 2a_i, según que me haya llevado 1 o no en la columna i-1.
Es decir que el i-simo dígito de 2A es impar si y sólo si
hubo acarreo en la columna i-1, y el número total de
dígitos impares en 2A es igual al número total de acarreos.

3) Supongamos que al sumar A+A no haya acarreos.
Entonces la representación decimal de 2A es
2a_k ... 2a_1 2a_0, y s(2A) = 2a_k +...+ 2a_1 + 2a_0
= 2(a_k +...+ a_1 + a_0) = 2s(A).
En cambio si hay acarreos, cada uno de ellos hace que s(2A)
disminuya en 9 unidades respecto a 2s(A). En efecto, si
c_0, c_1,...,c_k son los acarreos (que pueden ser 0 ó 1),
entonces los dígitos de 2A serán

c_k, 2a_k - 10c_k +c_{k-1},..., 2a_1 - 10c_1 +c_0, 2a_0 - 10c_0

y por lo tanto s(2A) = 2(a_k +...+ a_0) - 9(c_k +...+ c_0),
es decir que 2s(A) - s(2A) = 9(c_k +...+ c_0)
y el número total de acarreos es
c_k +...+ c_0 = (2s(A) - s(2A))/9.

4) Ahora ya podemos entrar en materia. Como f(2^n) es el
número de dígitos impares en 2^n, por (2) debe ser igual
al número de acarreos que se realizan al sumar 2^{n-1} + 2^{n-1},
y por (3) esto es igual a (2s(2^{n-1}) - s(2^n))/9.
Es decir que

suma(f(2^n)/2^n, n=1 a infinito)
= suma((2s(2^{n-1}) - s(2^n))/(9*2^n), n=1 a infinito)
= (1/9)suma(s(2^{n-1})/2^{n-1} - s(2^n))/2^n, n=1 a infinito)
= 1/9(s(1)/1 - s(2)/2 + s(2)/2 - s(4)/4 + s(4)/4 - s(8)/8 +...)
= 1/9(s(1)) = 1/9.

La convergencia de la serie telescópica
está asegurada ya que 0<= s(2^n) <= 9(log_10(2^n) + 1)
y por tanto s(2^n)/2^n --> 0 para n--> infinito.

Saludos,

jhn