El término general de una sucesión {a_n} viene dado por a_(n+2)=a_(n
+1)-a_n.Si la suma de los primeros 1997 términos es 1879 y la suma
primeros 1879 términos es 1997.¿Cual es la suma de los primeros 2000
términos?

Saludos
León-Sotelo

León-Sotelo escribió:
> El término general de una sucesión {a_n} viene dado por a_(n+2)=a_(n
> +1)-a_n.Si la suma de los primeros 1997 términos es 1879 y la suma
> primeros 1879 términos es 1997.¿Cual es la suma de los primeros 2000
> términos?
>

Hallemos la recurrencia para las sumas

Sea

S(n) = sum_(i=1)^n a(i)

entonces a(n) es la diferencia finita de S(n)

a(n) = S(n) - S(n-1)

sustituyendo en la recurrencia de a(n)

S(n+2) - S(n+1) = S(n+1) - S(n) - S(n) + S(n-1)

S(n+2) = 2S(n+1) - 2S(n) + S(n-1)

que es una recurrencia de tercer orden (como debe ser, pues al integrar
una de segundo orden, obtenemos una constante adicional.

La solución general de esta ecuación es

S(n) = a + b ω^n + c ω^(-n)

siendo

ω = exp(i pi/3) = 1^(1/6)

Aplicando los datos conocidos

1879 = a + b ω^(-1) + c ω

(ya que 1997 = -1 (mod 6)) y

1997 = a + b ω + c ω^(-1)

(ya que 1879 = 1 (mod 6)). Se trata de hallar

S(2000) = a + b ω^2 + c ω^(-2)

y resolviendo para b y c y sustituyendo queda

S(2000) = -1879 + 2a

que depende de a, luego falta un dato.




--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> El término general de una sucesión {a_n} viene dado por a_(n+2)=a_(n
> +1)-a_n.Si la suma de los primeros 1997 términos es 1879 y la suma
> primeros 1879 términos es 1997.¿Cual es la suma de los primeros 2000
> términos?
>

Hallemos la recurrencia para las sumas

Sea

S(n) = sum_(i=1)^n a(i)

entonces a(n) es la diferencia finita de S(n)

a(n) = S(n) - S(n-1)

sustituyendo en la recurrencia de a(n)

S(n+2) - S(n+1) = S(n+1) - S(n) - S(n) + S(n-1)

S(n+2) = 2S(n+1) - 2S(n) + S(n-1)

que es una recurrencia de tercer orden (como debe ser, pues al integrar
una de segundo orden, obtenemos una constante adicional.

La solución general de esta ecuación es

S(n) = a + b ω^n + c ω^(-n)

siendo

ω = exp(i pi/3) = 1^(1/6)

Aplicando los datos conocidos

1879 = a + b ω^(-1) + c ω

(ya que 1997 = -1 (mod 6)) y

1997 = a + b ω + c ω^(-1)

(ya que 1879 = 1 (mod 6)). Se trata de hallar

S(2000) = a + b ω^2 + c ω^(-2)

y resolviendo para b y c y sustituyendo queda

S(2000) = -1879 + 2a

que depende de a, luego falta un dato.




--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> El término general de una sucesión {a_n} viene dado por a_(n+2)=a_(n
> +1)-a_n.Si la suma de los primeros 1997 términos es 1879 y la suma
> primeros 1879 términos es 1997.¿Cual es la suma de los primeros 2000
> términos?
>

Hallemos la recurrencia para las sumas

Sea

S(n) = sum_(i=1)^n a(i)

entonces a(n) es la diferencia finita de S(n)

a(n) = S(n) - S(n-1)

sustituyendo en la recurrencia de a(n)

S(n+2) - S(n+1) = S(n+1) - S(n) - S(n) + S(n-1)

S(n+2) = 2S(n+1) - 2S(n) + S(n-1)

que es una recurrencia de tercer orden (como debe ser, pues al integrar
una de segundo orden, obtenemos una constante adicional.

La solución general de esta ecuación es

S(n) = a + b ω^n + c ω^(-n)

siendo

ω = exp(i pi/3) = 1^(1/6)

Aplicando los datos conocidos

1879 = a + b ω^(-1) + c ω

(ya que 1997 = -1 (mod 6)) y

1997 = a + b ω + c ω^(-1)

(ya que 1879 = 1 (mod 6)). Se trata de hallar

S(2000) = a + b ω^2 + c ω^(-2)

y resolviendo para b y c y sustituyendo queda

S(2000) = -1879 + 2a

que depende de a, luego falta un dato.




--

Antonio

On 24 oct, 09:42, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> El término general de una sucesión {a_n} viene dado por a_(n+2)=a_(n
> +1)-a_n.Si la suma de los primeros 1997 términos es 1879 y la suma
> primeros 1879 términos es 1997.¿Cual es la suma de los primeros 2000
> términos?
>
> Saludos
> León-Sotelo

Realmente la sucesión es periódica:

a(3) = a(2) - a(1)
a(4) = a(3) - a(2) = a(2) - a(1) - a(2) = -a(1)
a(5) = a(4) - a(3) = -a(1) -a(2) + a(1) = - a(2)
a(6) = a(5) - a(4) = - a(2) + a(1)
a(7) = a(6) - a(5) = - a(2) + a(1) + a(2) = a(1)
a(8) = a(7) - a(6) = a(1) + a(2) - a(1) = a(2)
a(9) = a(8) - a(7) = a(2) - a(1)

Es decir,el término 9º coincide con el 3º

Por otra parte

a(3) + a(4) + a(5) + a(6) + a(7) + a(8) =
= a(2) - a(1) -a(1)- a(2) - a(2) + a(1) + a(1) + a(2) = 0

Entonces la idea es expresar los datos en función de a(1) y a(2):

a(1) + a(2) + 332(a(3) + a(4) + a(5) + a(6) + a(7) + a(8)) + a(3) +
a(4) + a(5) = 1879
a(1) + a(2) + 312(a(3) + a(4) + a(5) + a(6) + a(7) + a(8)) + a(3) +
a(4) + a(5) + a(6) + a(7) = 1997


Ahora bien:
a(3) + a(4) + a(5) = a(2) - a(1) - a(1) - a(2) = -2a(1)

a(3) + a(4) + a(5) + a(6) + a(7) = a(2) - a(1) -a(1) -a(2) -a(2) +
a(1) + a(1) = -a(2)

Por tanto:
a(1) + a(2) -2a(1) = 1879
a(1) + a(2) - a(2) = 1997

a(1) = 1997
y entonces a(2) = 1879 + a(1) = 1879 + 1997 = 3876

Ahora falta por sumar los 2000 primeros :

a(1) + a(2) + 333(a(3) + a(4) + a(5) + a(6) + a(7) + a(8)) = a(1) +
a(2) = 1997 + 3876 = 5873


Saludos.

On 24 oct, 09:42, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> El término general de una sucesión {a_n} viene dado por a_(n+2)=a_(n
> +1)-a_n.Si la suma de los primeros 1997 términos es 1879 y la suma
> primeros 1879 términos es 1997.¿Cual es la suma de los primeros 2000
> términos?
>
> Saludos
> León-Sotelo

Realmente la sucesión es periódica:

a(3) = a(2) - a(1)
a(4) = a(3) - a(2) = a(2) - a(1) - a(2) = -a(1)
a(5) = a(4) - a(3) = -a(1) -a(2) + a(1) = - a(2)
a(6) = a(5) - a(4) = - a(2) + a(1)
a(7) = a(6) - a(5) = - a(2) + a(1) + a(2) = a(1)
a(8) = a(7) - a(6) = a(1) + a(2) - a(1) = a(2)
a(9) = a(8) - a(7) = a(2) - a(1)

Es decir,el término 9º coincide con el 3º

Por otra parte

a(3) + a(4) + a(5) + a(6) + a(7) + a(8) =
= a(2) - a(1) -a(1)- a(2) - a(2) + a(1) + a(1) + a(2) = 0

Entonces la idea es expresar los datos en función de a(1) y a(2):

a(1) + a(2) + 332(a(3) + a(4) + a(5) + a(6) + a(7) + a(8)) + a(3) +
a(4) + a(5) = 1879
a(1) + a(2) + 312(a(3) + a(4) + a(5) + a(6) + a(7) + a(8)) + a(3) +
a(4) + a(5) + a(6) + a(7) = 1997


Ahora bien:
a(3) + a(4) + a(5) = a(2) - a(1) - a(1) - a(2) = -2a(1)

a(3) + a(4) + a(5) + a(6) + a(7) = a(2) - a(1) -a(1) -a(2) -a(2) +
a(1) + a(1) = -a(2)

Por tanto:
a(1) + a(2) -2a(1) = 1879
a(1) + a(2) - a(2) = 1997

a(1) = 1997
y entonces a(2) = 1879 + a(1) = 1879 + 1997 = 3876

Ahora falta por sumar los 2000 primeros :

a(1) + a(2) + 333(a(3) + a(4) + a(5) + a(6) + a(7) + a(8)) = a(1) +
a(2) = 1997 + 3876 = 5873


Saludos.

On 24 oct, 09:42, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> El término general de una sucesión {a_n} viene dado por a_(n+2)=a_(n
> +1)-a_n.Si la suma de los primeros 1997 términos es 1879 y la suma
> primeros 1879 términos es 1997.¿Cual es la suma de los primeros 2000
> términos?
>
> Saludos
> León-Sotelo

Realmente la sucesión es periódica:

a(3) = a(2) - a(1)
a(4) = a(3) - a(2) = a(2) - a(1) - a(2) = -a(1)
a(5) = a(4) - a(3) = -a(1) -a(2) + a(1) = - a(2)
a(6) = a(5) - a(4) = - a(2) + a(1)
a(7) = a(6) - a(5) = - a(2) + a(1) + a(2) = a(1)
a(8) = a(7) - a(6) = a(1) + a(2) - a(1) = a(2)
a(9) = a(8) - a(7) = a(2) - a(1)

Es decir,el término 9º coincide con el 3º

Por otra parte

a(3) + a(4) + a(5) + a(6) + a(7) + a(8) =
= a(2) - a(1) -a(1)- a(2) - a(2) + a(1) + a(1) + a(2) = 0

Entonces la idea es expresar los datos en función de a(1) y a(2):

a(1) + a(2) + 332(a(3) + a(4) + a(5) + a(6) + a(7) + a(8)) + a(3) +
a(4) + a(5) = 1879
a(1) + a(2) + 312(a(3) + a(4) + a(5) + a(6) + a(7) + a(8)) + a(3) +
a(4) + a(5) + a(6) + a(7) = 1997


Ahora bien:
a(3) + a(4) + a(5) = a(2) - a(1) - a(1) - a(2) = -2a(1)

a(3) + a(4) + a(5) + a(6) + a(7) = a(2) - a(1) -a(1) -a(2) -a(2) +
a(1) + a(1) = -a(2)

Por tanto:
a(1) + a(2) -2a(1) = 1879
a(1) + a(2) - a(2) = 1997

a(1) = 1997
y entonces a(2) = 1879 + a(1) = 1879 + 1997 = 3876

Ahora falta por sumar los 2000 primeros :

a(1) + a(2) + 333(a(3) + a(4) + a(5) + a(6) + a(7) + a(8)) = a(1) +
a(2) = 1997 + 3876 = 5873


Saludos.

Antonio González escribió:
> León-Sotelo escribió:
>> El término general de una sucesión {a_n} viene dado por a_(n+2)=a_(n
>> +1)-a_n.Si la suma de los primeros 1997 términos es 1879 y la suma
>> primeros 1879 términos es 1997.¿Cual es la suma de los primeros 2000
>> términos?
>>
>
> Hallemos la recurrencia para las sumas
>
> Sea
>
> S(n) = sum_(i=1)^n a(i)
>
> entonces a(n) es la diferencia finita de S(n)
>
> a(n) = S(n) - S(n-1)
>
> sustituyendo en la recurrencia de a(n)
>
> S(n+2) - S(n+1) = S(n+1) - S(n) - S(n) + S(n-1)
>
> S(n+2) = 2S(n+1) - 2S(n) + S(n-1)
>
> que es una recurrencia de tercer orden (como debe ser, pues al integrar
> una de segundo orden, obtenemos una constante adicional.
>
> La solución general de esta ecuación es
>
> S(n) = a + b ω^n + c ω^(-n)
>
> siendo
>
> ω = exp(i pi/3) = 1^(1/6)
>
> Aplicando los datos conocidos
>
> 1879 = a + b ω^(-1) + c ω
>
> (ya que 1997 = -1 (mod 6)) y
>
> 1997 = a + b ω + c ω^(-1)
>
> (ya que 1879 = 1 (mod 6)). Se trata de hallar
>
> S(2000) = a + b ω^2 + c ω^(-2)
>
> y resolviendo para b y c y sustituyendo queda
>
> S(2000) = -1879 + 2a
>
> que depende de a, luego falta un dato.
>

Viendo la solución de Javier, ya cai en qué falla en la mÃ***a, y es que
hay una condición inicial para S

S(0) = 0

por tanto

a + b + c = 0

Que junto con las otras dos

1879 = a + b ω^(-1) + c ω

1997 = a + b ω + c ω^(-1)

Nos permite hallar a, b y c, y de aquÃ*** que

S(2000) = 5873

--
Antonio

Antonio González escribió:
> León-Sotelo escribió:
>> El término general de una sucesión {a_n} viene dado por a_(n+2)=a_(n
>> +1)-a_n.Si la suma de los primeros 1997 términos es 1879 y la suma
>> primeros 1879 términos es 1997.¿Cual es la suma de los primeros 2000
>> términos?
>>
>
> Hallemos la recurrencia para las sumas
>
> Sea
>
> S(n) = sum_(i=1)^n a(i)
>
> entonces a(n) es la diferencia finita de S(n)
>
> a(n) = S(n) - S(n-1)
>
> sustituyendo en la recurrencia de a(n)
>
> S(n+2) - S(n+1) = S(n+1) - S(n) - S(n) + S(n-1)
>
> S(n+2) = 2S(n+1) - 2S(n) + S(n-1)
>
> que es una recurrencia de tercer orden (como debe ser, pues al integrar
> una de segundo orden, obtenemos una constante adicional.
>
> La solución general de esta ecuación es
>
> S(n) = a + b ω^n + c ω^(-n)
>
> siendo
>
> ω = exp(i pi/3) = 1^(1/6)
>
> Aplicando los datos conocidos
>
> 1879 = a + b ω^(-1) + c ω
>
> (ya que 1997 = -1 (mod 6)) y
>
> 1997 = a + b ω + c ω^(-1)
>
> (ya que 1879 = 1 (mod 6)). Se trata de hallar
>
> S(2000) = a + b ω^2 + c ω^(-2)
>
> y resolviendo para b y c y sustituyendo queda
>
> S(2000) = -1879 + 2a
>
> que depende de a, luego falta un dato.
>

Viendo la solución de Javier, ya cai en qué falla en la mÃ***a, y es que
hay una condición inicial para S

S(0) = 0

por tanto

a + b + c = 0

Que junto con las otras dos

1879 = a + b ω^(-1) + c ω

1997 = a + b ω + c ω^(-1)

Nos permite hallar a, b y c, y de aquÃ*** que

S(2000) = 5873

--
Antonio

Antonio González escribió:
> León-Sotelo escribió:
>> El término general de una sucesión {a_n} viene dado por a_(n+2)=a_(n
>> +1)-a_n.Si la suma de los primeros 1997 términos es 1879 y la suma
>> primeros 1879 términos es 1997.¿Cual es la suma de los primeros 2000
>> términos?
>>
>
> Hallemos la recurrencia para las sumas
>
> Sea
>
> S(n) = sum_(i=1)^n a(i)
>
> entonces a(n) es la diferencia finita de S(n)
>
> a(n) = S(n) - S(n-1)
>
> sustituyendo en la recurrencia de a(n)
>
> S(n+2) - S(n+1) = S(n+1) - S(n) - S(n) + S(n-1)
>
> S(n+2) = 2S(n+1) - 2S(n) + S(n-1)
>
> que es una recurrencia de tercer orden (como debe ser, pues al integrar
> una de segundo orden, obtenemos una constante adicional.
>
> La solución general de esta ecuación es
>
> S(n) = a + b ω^n + c ω^(-n)
>
> siendo
>
> ω = exp(i pi/3) = 1^(1/6)
>
> Aplicando los datos conocidos
>
> 1879 = a + b ω^(-1) + c ω
>
> (ya que 1997 = -1 (mod 6)) y
>
> 1997 = a + b ω + c ω^(-1)
>
> (ya que 1879 = 1 (mod 6)). Se trata de hallar
>
> S(2000) = a + b ω^2 + c ω^(-2)
>
> y resolviendo para b y c y sustituyendo queda
>
> S(2000) = -1879 + 2a
>
> que depende de a, luego falta un dato.
>

Viendo la solución de Javier, ya cai en qué falla en la mÃ***a, y es que
hay una condición inicial para S

S(0) = 0

por tanto

a + b + c = 0

Que junto con las otras dos

1879 = a + b ω^(-1) + c ω

1997 = a + b ω + c ω^(-1)

Nos permite hallar a, b y c, y de aquÃ*** que

S(2000) = 5873

--
Antonio