Hallar todos los enteros positivos n para los cuales el número n^8-
n^2 no es divisible por 72

Saludos
León-Sotelo

On 25 oct, 10:21, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Hallar todos los enteros positivos n para los cuales el número n^8-
> n^2 no es divisible por 72
>
> Saludos
> León-Sotelo

Es sencillo ver que n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) es siempre múltiplo de 9.
Concretamente ,si m.c.d(n,9) = 1 ----> n^6 = 1 (mod.9)

En el caso en que tengan un factor común n^2 hace que el producto sea
en cualquier caso múltiplo de 9.

Por tanto,puesto que 72 = 2^3·3^2,tendremos que buscar aquellos n que
hacen que la expresión
n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) no sea múltiplo de 8.
Factorizando:

n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) = (n - 1)n^2(n + 1)(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)

Ahora bien,tanto n^2 - n + 1 como n^2 + n + 1 son siempre impares
luego no aportan ninúna potencia de 2 al producto.

Por otra parte si nos fijamos en el producto (n - 1)n(n + 1) son tres
enteros consecutivos,tenemos
que si n es impar (n - 1)(n + 1) será multiplo de 8.Luego n debe de
ser par,pero no múltiplo de 8.

Es decir,son todos aquellos enteros pares **NO** múltiplos de 8.

Saludos.

On 25 oct, 10:21, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Hallar todos los enteros positivos n para los cuales el número n^8-
> n^2 no es divisible por 72
>
> Saludos
> León-Sotelo

Es sencillo ver que n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) es siempre múltiplo de 9.
Concretamente ,si m.c.d(n,9) = 1 ----> n^6 = 1 (mod.9)

En el caso en que tengan un factor común n^2 hace que el producto sea
en cualquier caso múltiplo de 9.

Por tanto,puesto que 72 = 2^3·3^2,tendremos que buscar aquellos n que
hacen que la expresión
n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) no sea múltiplo de 8.
Factorizando:

n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) = (n - 1)n^2(n + 1)(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)

Ahora bien,tanto n^2 - n + 1 como n^2 + n + 1 son siempre impares
luego no aportan ninúna potencia de 2 al producto.

Por otra parte si nos fijamos en el producto (n - 1)n(n + 1) son tres
enteros consecutivos,tenemos
que si n es impar (n - 1)(n + 1) será multiplo de 8.Luego n debe de
ser par,pero no múltiplo de 8.

Es decir,son todos aquellos enteros pares **NO** múltiplos de 8.

Saludos.

On 25 oct, 10:21, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Hallar todos los enteros positivos n para los cuales el número n^8-
> n^2 no es divisible por 72
>
> Saludos
> León-Sotelo

Es sencillo ver que n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) es siempre múltiplo de 9.
Concretamente ,si m.c.d(n,9) = 1 ----> n^6 = 1 (mod.9)

En el caso en que tengan un factor común n^2 hace que el producto sea
en cualquier caso múltiplo de 9.

Por tanto,puesto que 72 = 2^3·3^2,tendremos que buscar aquellos n que
hacen que la expresión
n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) no sea múltiplo de 8.
Factorizando:

n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) = (n - 1)n^2(n + 1)(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)

Ahora bien,tanto n^2 - n + 1 como n^2 + n + 1 son siempre impares
luego no aportan ninúna potencia de 2 al producto.

Por otra parte si nos fijamos en el producto (n - 1)n(n + 1) son tres
enteros consecutivos,tenemos
que si n es impar (n - 1)(n + 1) será multiplo de 8.Luego n debe de
ser par,pero no múltiplo de 8.

Es decir,son todos aquellos enteros pares **NO** múltiplos de 8.

Saludos.

On 25 oct, 10:21, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Hallar todos los enteros positivos n para los cuales el número n^8-
> n^2 no es divisible por 72
>
> Saludos
> León-Sotelo

Me he confundido en el mensaje que he mandado antes.Veamos:

(i) Si n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) tenemos que siempre es múltiplo de
9.Esto es sencillo de ver,usando por ejemplo el teorema de Euler-
Fermat.Por tanto debemos buscar los números de la forma
n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) que no sean múltiplos de 8.

(ii) Si n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) = n^2(n - 1)(n + 1)(n^2 - n + 1)(n^+ n
+ 1) =
= n^2(n - 1)(n + 1)(n(n - 1) + 1)(n(n + 1) + 1)

Es claro que si n es impar entonces (n - 1)(n + 1) es múltiplo de 8
pues n - 1 y n + 1 son pares consecutivos.

Por otra parte,si n es par entonces n - 1,n + 1,n(n - 1) + 1,n(n + 1)
+ 1 son impares luego la paridad depende de n^2.

Por tanto,los enteros buscados son aquellos n de la forma n = 2·i
donde i es un número impar.

Saludos.

Si n es par pero no múltiplo de

On 25 oct, 10:21, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Hallar todos los enteros positivos n para los cuales el número n^8-
> n^2 no es divisible por 72
>
> Saludos
> León-Sotelo

Me he confundido en el mensaje que he mandado antes.Veamos:

(i) Si n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) tenemos que siempre es múltiplo de
9.Esto es sencillo de ver,usando por ejemplo el teorema de Euler-
Fermat.Por tanto debemos buscar los números de la forma
n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) que no sean múltiplos de 8.

(ii) Si n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) = n^2(n - 1)(n + 1)(n^2 - n + 1)(n^+ n
+ 1) =
= n^2(n - 1)(n + 1)(n(n - 1) + 1)(n(n + 1) + 1)

Es claro que si n es impar entonces (n - 1)(n + 1) es múltiplo de 8
pues n - 1 y n + 1 son pares consecutivos.

Por otra parte,si n es par entonces n - 1,n + 1,n(n - 1) + 1,n(n + 1)
+ 1 son impares luego la paridad depende de n^2.

Por tanto,los enteros buscados son aquellos n de la forma n = 2·i
donde i es un número impar.

Saludos.

Si n es par pero no múltiplo de

On 25 oct, 10:21, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Hallar todos los enteros positivos n para los cuales el número n^8-
> n^2 no es divisible por 72
>
> Saludos
> León-Sotelo

Me he confundido en el mensaje que he mandado antes.Veamos:

(i) Si n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) tenemos que siempre es múltiplo de
9.Esto es sencillo de ver,usando por ejemplo el teorema de Euler-
Fermat.Por tanto debemos buscar los números de la forma
n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) que no sean múltiplos de 8.

(ii) Si n^8- n^2 = n^2(n^6 - 1) = n^2(n - 1)(n + 1)(n^2 - n + 1)(n^+ n
+ 1) =
= n^2(n - 1)(n + 1)(n(n - 1) + 1)(n(n + 1) + 1)

Es claro que si n es impar entonces (n - 1)(n + 1) es múltiplo de 8
pues n - 1 y n + 1 son pares consecutivos.

Por otra parte,si n es par entonces n - 1,n + 1,n(n - 1) + 1,n(n + 1)
+ 1 son impares luego la paridad depende de n^2.

Por tanto,los enteros buscados son aquellos n de la forma n = 2·i
donde i es un número impar.

Saludos.

Si n es par pero no múltiplo de

León-Sotelo escribió:
> Hallar todos los enteros positivos n para los cuales el número n^8-
> n^2 no es divisible por 72
>

Se trata de ver cuándo no es múltiplo de 8 o de 9. Para ello debemos ver
el comportamiento de -4,-3,.. 3,4 tanto (mod 8) como (mod 9) (aunque -4
= 4 (mod 8)).

Como f(n) = n^8 - n^2 es una función par, nos basta con estudiar los
caos 0,1,2,3,4.

A su vez podemos escribir como

g(k) = k^4 - k

con k = n^2, por lo que nos basta con estudiar los valores

(0,1,2,3,4)^2 = (0,1,4,1,0) (mod 8)

(0,1,2,3,4)^2 = (0,1,4,0,-2)

En el primer caso

g(0) = 0 - 0 = 0 (mod 8)

g(1) = 1 - 1 = 0 (mod 8)

g(4) = 0 - 4 = -4 (mod 8)

luego f(n) no es múltiplo de 72 para los números de la forma n = 2 (mod
8) (o, equivalentemente, n = 1 (mod 4)).

Para el (mod 9)

g(0) = 0 - 0 = 0 (mod 9)

g(1) = 1 - 1 = 0 (mod 9)

g(4) = (-2)^2 - 4 = 0 (mod 9)

g(-2) = -2 + 2 = 0 (mod 9)

Por tanto n^8 - n^2 es siempre múltiplo de 9.

La respuesta a la pregunta es, por tanto, que no son múltiplos de 72 los
números de la forma 4p+1.



--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> Hallar todos los enteros positivos n para los cuales el número n^8-
> n^2 no es divisible por 72
>

Se trata de ver cuándo no es múltiplo de 8 o de 9. Para ello debemos ver
el comportamiento de -4,-3,.. 3,4 tanto (mod 8) como (mod 9) (aunque -4
= 4 (mod 8)).

Como f(n) = n^8 - n^2 es una función par, nos basta con estudiar los
caos 0,1,2,3,4.

A su vez podemos escribir como

g(k) = k^4 - k

con k = n^2, por lo que nos basta con estudiar los valores

(0,1,2,3,4)^2 = (0,1,4,1,0) (mod 8)

(0,1,2,3,4)^2 = (0,1,4,0,-2)

En el primer caso

g(0) = 0 - 0 = 0 (mod 8)

g(1) = 1 - 1 = 0 (mod 8)

g(4) = 0 - 4 = -4 (mod 8)

luego f(n) no es múltiplo de 72 para los números de la forma n = 2 (mod
8) (o, equivalentemente, n = 1 (mod 4)).

Para el (mod 9)

g(0) = 0 - 0 = 0 (mod 9)

g(1) = 1 - 1 = 0 (mod 9)

g(4) = (-2)^2 - 4 = 0 (mod 9)

g(-2) = -2 + 2 = 0 (mod 9)

Por tanto n^8 - n^2 es siempre múltiplo de 9.

La respuesta a la pregunta es, por tanto, que no son múltiplos de 72 los
números de la forma 4p+1.



--

Antonio

León-Sotelo escribió:
> Hallar todos los enteros positivos n para los cuales el número n^8-
> n^2 no es divisible por 72
>

Se trata de ver cuándo no es múltiplo de 8 o de 9. Para ello debemos ver
el comportamiento de -4,-3,.. 3,4 tanto (mod 8) como (mod 9) (aunque -4
= 4 (mod 8)).

Como f(n) = n^8 - n^2 es una función par, nos basta con estudiar los
caos 0,1,2,3,4.

A su vez podemos escribir como

g(k) = k^4 - k

con k = n^2, por lo que nos basta con estudiar los valores

(0,1,2,3,4)^2 = (0,1,4,1,0) (mod 8)

(0,1,2,3,4)^2 = (0,1,4,0,-2)

En el primer caso

g(0) = 0 - 0 = 0 (mod 8)

g(1) = 1 - 1 = 0 (mod 8)

g(4) = 0 - 4 = -4 (mod 8)

luego f(n) no es múltiplo de 72 para los números de la forma n = 2 (mod
8) (o, equivalentemente, n = 1 (mod 4)).

Para el (mod 9)

g(0) = 0 - 0 = 0 (mod 9)

g(1) = 1 - 1 = 0 (mod 9)

g(4) = (-2)^2 - 4 = 0 (mod 9)

g(-2) = -2 + 2 = 0 (mod 9)

Por tanto n^8 - n^2 es siempre múltiplo de 9.

La respuesta a la pregunta es, por tanto, que no son múltiplos de 72 los
números de la forma 4p+1.



--

Antonio