Dado el triángulo equilátero ABC de lado a y su circunferencia
circunscrita, se considera el segmento de cÃ***rculo limitado por la
cuerda AB y el arco (de 120â—¦) con los mismos extremos. Si cortamos
este segmento circular por rectas paralelas al lado BC, determinamos
sobre cada una de ellas un segmento con sus puntos interiores al
segmento circular mencionado. Hallar la longitud máxima de estos
segmentos rectilÃ***neos.

Saludos
León-Sotelo

>
> "León-Sotelo" <francisco.lsotelo***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:1193380887.210574.174040***22g2000hsm.googlegro ups.com...
> Dado el triángulo equilátero ABC de lado a y su circunferencia
> circunscrita, se considera el segmento de cÃ***rculo limitado por la
> cuerda AB y el arco (de 120â—¦) con los mismos extremos. Si cortamos
> este segmento circular por rectas paralelas al lado BC, determinamos
> sobre cada una de ellas un segmento con sus puntos interiores al
> segmento circular mencionado. Hallar la longitud máxima de estos
> segmentos rectilÃ***neos.
>
> Saludos
> León-Sotelo
>
Ponemos a = 1. Luego el radio es R = 1/Sqrt[3].
Los coordinates de los puntos sean

A = { -1/2, - R/2}
B = { +1/2, - R/2}
C = { 0, R }

La ecuación de la paralela tras es punto

G = { x0, - R/2 }

en AB es

y[ x, x0 ] = - R/2 - 3 R ( x - x0)

Al fin, sea F el punto en el cÃ***rculo y en la paralela.

Escribamos

F = { x1, y[x1,x0]}

como F y debe ser en el cÃ***rculo, tenemos que

F.F = R^2

que es una ecuación cuadrática para determinar x1.

Buscamos el máximo de

z = (F-G).(F-G)

con respecto de x0.

Desde dz/dx0 podemos encontrar la solución

x0= -1/6,

la paralela y(x) = -(1/(2*Sqrt[3])) - Sqrt[3]*(1/6 + x)

y el máximo

m = Sqrt[z] = 1/3.

Saludos,
Wolfgang

>
> "León-Sotelo" <francisco.lsotelo***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:1193380887.210574.174040***22g2000hsm.googlegro ups.com...
> Dado el triángulo equilátero ABC de lado a y su circunferencia
> circunscrita, se considera el segmento de cÃ***rculo limitado por la
> cuerda AB y el arco (de 120â—¦) con los mismos extremos. Si cortamos
> este segmento circular por rectas paralelas al lado BC, determinamos
> sobre cada una de ellas un segmento con sus puntos interiores al
> segmento circular mencionado. Hallar la longitud máxima de estos
> segmentos rectilÃ***neos.
>
> Saludos
> León-Sotelo
>
Ponemos a = 1. Luego el radio es R = 1/Sqrt[3].
Los coordinates de los puntos sean

A = { -1/2, - R/2}
B = { +1/2, - R/2}
C = { 0, R }

La ecuación de la paralela tras es punto

G = { x0, - R/2 }

en AB es

y[ x, x0 ] = - R/2 - 3 R ( x - x0)

Al fin, sea F el punto en el cÃ***rculo y en la paralela.

Escribamos

F = { x1, y[x1,x0]}

como F y debe ser en el cÃ***rculo, tenemos que

F.F = R^2

que es una ecuación cuadrática para determinar x1.

Buscamos el máximo de

z = (F-G).(F-G)

con respecto de x0.

Desde dz/dx0 podemos encontrar la solución

x0= -1/6,

la paralela y(x) = -(1/(2*Sqrt[3])) - Sqrt[3]*(1/6 + x)

y el máximo

m = Sqrt[z] = 1/3.

Saludos,
Wolfgang

>
> "León-Sotelo" <francisco.lsotelo***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:1193380887.210574.174040***22g2000hsm.googlegro ups.com...
> Dado el triángulo equilátero ABC de lado a y su circunferencia
> circunscrita, se considera el segmento de cÃ***rculo limitado por la
> cuerda AB y el arco (de 120â—¦) con los mismos extremos. Si cortamos
> este segmento circular por rectas paralelas al lado BC, determinamos
> sobre cada una de ellas un segmento con sus puntos interiores al
> segmento circular mencionado. Hallar la longitud máxima de estos
> segmentos rectilÃ***neos.
>
> Saludos
> León-Sotelo
>
Ponemos a = 1. Luego el radio es R = 1/Sqrt[3].
Los coordinates de los puntos sean

A = { -1/2, - R/2}
B = { +1/2, - R/2}
C = { 0, R }

La ecuación de la paralela tras es punto

G = { x0, - R/2 }

en AB es

y[ x, x0 ] = - R/2 - 3 R ( x - x0)

Al fin, sea F el punto en el cÃ***rculo y en la paralela.

Escribamos

F = { x1, y[x1,x0]}

como F y debe ser en el cÃ***rculo, tenemos que

F.F = R^2

que es una ecuación cuadrática para determinar x1.

Buscamos el máximo de

z = (F-G).(F-G)

con respecto de x0.

Desde dz/dx0 podemos encontrar la solución

x0= -1/6,

la paralela y(x) = -(1/(2*Sqrt[3])) - Sqrt[3]*(1/6 + x)

y el máximo

m = Sqrt[z] = 1/3.

Saludos,
Wolfgang

On 26 oct, 12:04, "Dr. Wolfgang Hintze" <w...***snafu.de> wrote:
> > "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> >news:1193380887.210574.174040***22g2000hsm.googlegr oups.com...
> > Dado el triángulo equilátero Â***ABC de lado a y su circunferencia
> > circunscrita, se considera el segmento de cÃ***rculo limitado por la
> > cuerda AB y el arco (de 120â—¦) con los mismos extremos. Si cortamos
> > este segmento circular por rectas paralelas al lado BC, determinamos
> > sobre cada una de Â***ellas un segmento con sus puntos Â***interiores al
> > segmento circular mencionado. Hallar la longitud máxima de estos
> > segmentos rectilÃ***neos.
>
> > Saludos
> > León-Sotelo
>
> Ponemos a = 1. Luego el radio es R = 1/Sqrt[3].
> Los coordinates de los puntos sean
>
> A = { -1/2, - R/2}
> B = { +1/2, - R/2}
> C = { 0, R }
>
> La ecuación de la paralela tras es punto
>
> G = { x0, - R/2 }
>
> en AB es
>
> y[ x, x0 ] = - R/2 - 3 R ( x - x0)
>
> Al fin, sea F el punto en el cÃ***rculo y en la paralela.
>
> Escribamos
>
> F = { x1, y[x1,x0]}
>
> como F y debe ser en el cÃ***rculo, tenemos que
>
> F.F = R^2
>
> que es una ecuación cuadrática para determinar x1.
>
> Buscamos el máximo de
>
> z = (F-G).(F-G)
>
> con respecto de x0.
>
> Desde dz/dx0 podemos encontrar la solución
>
> x0= -1/6,
>
> la paralela y(x) = -(1/(2*Sqrt[3])) - Sqrt[3]*(1/6 + x)
>
> y el máximo
>
> m = Sqrt[z] = 1/3.
>
> Saludos,
> Wolfgang

Este problema fué uno de los de la Primera Olimpiada Matematica de
España allá por los años 1963-64 en su fase nacional.

Saludos
León-Sotelo

On 26 oct, 12:04, "Dr. Wolfgang Hintze" <w...***snafu.de> wrote:
> > "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> >news:1193380887.210574.174040***22g2000hsm.googlegr oups.com...
> > Dado el triángulo equilátero Â***ABC de lado a y su circunferencia
> > circunscrita, se considera el segmento de cÃ***rculo limitado por la
> > cuerda AB y el arco (de 120â—¦) con los mismos extremos. Si cortamos
> > este segmento circular por rectas paralelas al lado BC, determinamos
> > sobre cada una de Â***ellas un segmento con sus puntos Â***interiores al
> > segmento circular mencionado. Hallar la longitud máxima de estos
> > segmentos rectilÃ***neos.
>
> > Saludos
> > León-Sotelo
>
> Ponemos a = 1. Luego el radio es R = 1/Sqrt[3].
> Los coordinates de los puntos sean
>
> A = { -1/2, - R/2}
> B = { +1/2, - R/2}
> C = { 0, R }
>
> La ecuación de la paralela tras es punto
>
> G = { x0, - R/2 }
>
> en AB es
>
> y[ x, x0 ] = - R/2 - 3 R ( x - x0)
>
> Al fin, sea F el punto en el cÃ***rculo y en la paralela.
>
> Escribamos
>
> F = { x1, y[x1,x0]}
>
> como F y debe ser en el cÃ***rculo, tenemos que
>
> F.F = R^2
>
> que es una ecuación cuadrática para determinar x1.
>
> Buscamos el máximo de
>
> z = (F-G).(F-G)
>
> con respecto de x0.
>
> Desde dz/dx0 podemos encontrar la solución
>
> x0= -1/6,
>
> la paralela y(x) = -(1/(2*Sqrt[3])) - Sqrt[3]*(1/6 + x)
>
> y el máximo
>
> m = Sqrt[z] = 1/3.
>
> Saludos,
> Wolfgang

Este problema fué uno de los de la Primera Olimpiada Matematica de
España allá por los años 1963-64 en su fase nacional.

Saludos
León-Sotelo

On 26 oct, 12:04, "Dr. Wolfgang Hintze" <w...***snafu.de> wrote:
> > "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> >news:1193380887.210574.174040***22g2000hsm.googlegr oups.com...
> > Dado el triángulo equilátero Â***ABC de lado a y su circunferencia
> > circunscrita, se considera el segmento de cÃ***rculo limitado por la
> > cuerda AB y el arco (de 120â—¦) con los mismos extremos. Si cortamos
> > este segmento circular por rectas paralelas al lado BC, determinamos
> > sobre cada una de Â***ellas un segmento con sus puntos Â***interiores al
> > segmento circular mencionado. Hallar la longitud máxima de estos
> > segmentos rectilÃ***neos.
>
> > Saludos
> > León-Sotelo
>
> Ponemos a = 1. Luego el radio es R = 1/Sqrt[3].
> Los coordinates de los puntos sean
>
> A = { -1/2, - R/2}
> B = { +1/2, - R/2}
> C = { 0, R }
>
> La ecuación de la paralela tras es punto
>
> G = { x0, - R/2 }
>
> en AB es
>
> y[ x, x0 ] = - R/2 - 3 R ( x - x0)
>
> Al fin, sea F el punto en el cÃ***rculo y en la paralela.
>
> Escribamos
>
> F = { x1, y[x1,x0]}
>
> como F y debe ser en el cÃ***rculo, tenemos que
>
> F.F = R^2
>
> que es una ecuación cuadrática para determinar x1.
>
> Buscamos el máximo de
>
> z = (F-G).(F-G)
>
> con respecto de x0.
>
> Desde dz/dx0 podemos encontrar la solución
>
> x0= -1/6,
>
> la paralela y(x) = -(1/(2*Sqrt[3])) - Sqrt[3]*(1/6 + x)
>
> y el máximo
>
> m = Sqrt[z] = 1/3.
>
> Saludos,
> Wolfgang

Este problema fué uno de los de la Primera Olimpiada Matematica de
España allá por los años 1963-64 en su fase nacional.

Saludos
León-Sotelo

On 26 oct, 07:18, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> On 26 oct, 12:04, "Dr. Wolfgang Hintze" <w...***snafu.de> wrote:
>
>
>
>
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> > > "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> > >news:1193380887.210574.174040***22g2000hsm.googlegr oups.com...
> > > Dado el triángulo equilátero Â***ABC de lado a y su circunferencia
> > > circunscrita, se considera el segmento de cÃ***rculo limitado por la
> > > cuerda AB y el arco (de 120â—¦) con los mismos extremos. Si cortamos
> > > este segmento circular por rectas paralelas al lado BC, determinamos
> > > sobre cada una de Â***ellas un segmento con sus puntos Â***interiores al
> > > segmento circular mencionado. Hallar la longitud máxima de estos
> > > segmentos rectilÃ***neos.
>
> > > Saludos
> > > León-Sotelo
>
> > Ponemos a = 1. Luego el radio es R = 1/Sqrt[3].
> > Los coordinates de los puntos sean
>
> > A = { -1/2, - R/2}
> > B = { +1/2, - R/2}
> > C = { 0, R }
>
> > La ecuación de la paralela tras es punto
>
> > G = { x0, - R/2 }
>
> > en AB es
>
> > y[ x, x0 ] = - R/2 - 3 R ( x - x0)
>
> > Al fin, sea F el punto en el cÃ***rculo y en la paralela.
>
> > Escribamos
>
> > F = { x1, y[x1,x0]}
>
> > como F y debe ser en el cÃ***rculo, tenemos que
>
> > F.F = R^2
>
> > que es una ecuación cuadrática para determinar x1.
>
> > Buscamos el máximo de
>
> > z = (F-G).(F-G)
>
> > con respecto de x0.
>
> > Desde dz/dx0 podemos encontrar la solución
>
> > x0= -1/6,
>
> > la paralela y(x) = -(1/(2*Sqrt[3])) - Sqrt[3]*(1/6 + x)
>
> > y el máximo
>
> > m = Sqrt[z] = 1/3.
>
> > Saludos,
> > Wolfgang
>
> Este problema fué uno de los de la Primera Olimpiada Matematica de
> España allá por los años 1963-64 en su fase nacional.
>
> Saludos
> León-Sotelo- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -

Se puede resolver elementalmente asÃ***:
Sea X un punto en el arco AB y sea Y el punto
en el segmento AB tal que XY||BC. Sean M el
punto medio de AB, N la intersección de la
recta CM con el arco AB, Z la intersección de CX con AB
y W la intersección de la recta CX con la perpendicular
a CN por N. Como los triángulos XYZ y CBZ son semejantes,
se tiene que XY/a = XZ/ZC. Pero

XZ/ZC <= WZ/ZC = NM/MC = 1/3.

Por lo tanto el mayor valor que puede tomar XY es a/3,
y lo toma cuando X es el punto medio del arco AB.

Saludos,

jhn

On 26 oct, 07:18, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> On 26 oct, 12:04, "Dr. Wolfgang Hintze" <w...***snafu.de> wrote:
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>
>
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> > > "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> > >news:1193380887.210574.174040***22g2000hsm.googlegr oups.com...
> > > Dado el triángulo equilátero Â***ABC de lado a y su circunferencia
> > > circunscrita, se considera el segmento de cÃ***rculo limitado por la
> > > cuerda AB y el arco (de 120â—¦) con los mismos extremos. Si cortamos
> > > este segmento circular por rectas paralelas al lado BC, determinamos
> > > sobre cada una de Â***ellas un segmento con sus puntos Â***interiores al
> > > segmento circular mencionado. Hallar la longitud máxima de estos
> > > segmentos rectilÃ***neos.
>
> > > Saludos
> > > León-Sotelo
>
> > Ponemos a = 1. Luego el radio es R = 1/Sqrt[3].
> > Los coordinates de los puntos sean
>
> > A = { -1/2, - R/2}
> > B = { +1/2, - R/2}
> > C = { 0, R }
>
> > La ecuación de la paralela tras es punto
>
> > G = { x0, - R/2 }
>
> > en AB es
>
> > y[ x, x0 ] = - R/2 - 3 R ( x - x0)
>
> > Al fin, sea F el punto en el cÃ***rculo y en la paralela.
>
> > Escribamos
>
> > F = { x1, y[x1,x0]}
>
> > como F y debe ser en el cÃ***rculo, tenemos que
>
> > F.F = R^2
>
> > que es una ecuación cuadrática para determinar x1.
>
> > Buscamos el máximo de
>
> > z = (F-G).(F-G)
>
> > con respecto de x0.
>
> > Desde dz/dx0 podemos encontrar la solución
>
> > x0= -1/6,
>
> > la paralela y(x) = -(1/(2*Sqrt[3])) - Sqrt[3]*(1/6 + x)
>
> > y el máximo
>
> > m = Sqrt[z] = 1/3.
>
> > Saludos,
> > Wolfgang
>
> Este problema fué uno de los de la Primera Olimpiada Matematica de
> España allá por los años 1963-64 en su fase nacional.
>
> Saludos
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>
> - Mostrar texto de la cita -

Se puede resolver elementalmente asÃ***:
Sea X un punto en el arco AB y sea Y el punto
en el segmento AB tal que XY||BC. Sean M el
punto medio de AB, N la intersección de la
recta CM con el arco AB, Z la intersección de CX con AB
y W la intersección de la recta CX con la perpendicular
a CN por N. Como los triángulos XYZ y CBZ son semejantes,
se tiene que XY/a = XZ/ZC. Pero

XZ/ZC <= WZ/ZC = NM/MC = 1/3.

Por lo tanto el mayor valor que puede tomar XY es a/3,
y lo toma cuando X es el punto medio del arco AB.

Saludos,

jhn

On 26 oct, 07:18, León-Sotelo <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> On 26 oct, 12:04, "Dr. Wolfgang Hintze" <w...***snafu.de> wrote:
>
>
>
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> > > "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> > >news:1193380887.210574.174040***22g2000hsm.googlegr oups.com...
> > > Dado el triángulo equilátero Â***ABC de lado a y su circunferencia
> > > circunscrita, se considera el segmento de cÃ***rculo limitado por la
> > > cuerda AB y el arco (de 120â—¦) con los mismos extremos. Si cortamos
> > > este segmento circular por rectas paralelas al lado BC, determinamos
> > > sobre cada una de Â***ellas un segmento con sus puntos Â***interiores al
> > > segmento circular mencionado. Hallar la longitud máxima de estos
> > > segmentos rectilÃ***neos.
>
> > > Saludos
> > > León-Sotelo
>
> > Ponemos a = 1. Luego el radio es R = 1/Sqrt[3].
> > Los coordinates de los puntos sean
>
> > A = { -1/2, - R/2}
> > B = { +1/2, - R/2}
> > C = { 0, R }
>
> > La ecuación de la paralela tras es punto
>
> > G = { x0, - R/2 }
>
> > en AB es
>
> > y[ x, x0 ] = - R/2 - 3 R ( x - x0)
>
> > Al fin, sea F el punto en el cÃ***rculo y en la paralela.
>
> > Escribamos
>
> > F = { x1, y[x1,x0]}
>
> > como F y debe ser en el cÃ***rculo, tenemos que
>
> > F.F = R^2
>
> > que es una ecuación cuadrática para determinar x1.
>
> > Buscamos el máximo de
>
> > z = (F-G).(F-G)
>
> > con respecto de x0.
>
> > Desde dz/dx0 podemos encontrar la solución
>
> > x0= -1/6,
>
> > la paralela y(x) = -(1/(2*Sqrt[3])) - Sqrt[3]*(1/6 + x)
>
> > y el máximo
>
> > m = Sqrt[z] = 1/3.
>
> > Saludos,
> > Wolfgang
>
> Este problema fué uno de los de la Primera Olimpiada Matematica de
> España allá por los años 1963-64 en su fase nacional.
>
> Saludos
> León-Sotelo- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -

Se puede resolver elementalmente asÃ***:
Sea X un punto en el arco AB y sea Y el punto
en el segmento AB tal que XY||BC. Sean M el
punto medio de AB, N la intersección de la
recta CM con el arco AB, Z la intersección de CX con AB
y W la intersección de la recta CX con la perpendicular
a CN por N. Como los triángulos XYZ y CBZ son semejantes,
se tiene que XY/a = XZ/ZC. Pero

XZ/ZC <= WZ/ZC = NM/MC = 1/3.

Por lo tanto el mayor valor que puede tomar XY es a/3,
y lo toma cuando X es el punto medio del arco AB.

Saludos,

jhn