Partiendo de dos números reales positivos, a(0) y b(0) se construye la
secuencia


a(n) = rq((a(n-1)^2 + b(n-1)^2)/2)

b(n) = rq(a(n-1)b(n-1))

esto es, la media geométrica y la media armónica. En el lÃ***mite n -> oo,
¿a qué tienden a y b? (No sé la respuesta, solo pregunto)

--

Antonio

On 26 oct, 14:21, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Partiendo de dos números reales positivos, a(0) y b(0) se construye la
> secuencia
>
> a(n) = rq((a(n-1)^2 + b(n-1)^2)/2)
>
> b(n) = rq(a(n-1)b(n-1))
>
> esto es, la media geométrica y la media armónica.

Supongo que en vez de armónica quisiste decir cuadrática.

> En el límite n -> oo,
> ¿a qué tienden a y b? (No sé la respuesta, solo pregunto)
>
> --
>
> Antonio


Creo que tienden a (a0 + b0)/4 + rq(a0b0)/2,
es decir a la media aritmética entre las medias
aritmética y geométrica.

jhn

On 26 oct, 14:21, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Partiendo de dos números reales positivos, a(0) y b(0) se construye la
> secuencia
>
> a(n) = rq((a(n-1)^2 + b(n-1)^2)/2)
>
> b(n) = rq(a(n-1)b(n-1))
>
> esto es, la media geométrica y la media armónica.

Supongo que en vez de armónica quisiste decir cuadrática.

> En el límite n -> oo,
> ¿a qué tienden a y b? (No sé la respuesta, solo pregunto)
>
> --
>
> Antonio


Creo que tienden a (a0 + b0)/4 + rq(a0b0)/2,
es decir a la media aritmética entre las medias
aritmética y geométrica.

jhn

On 26 oct, 14:21, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Partiendo de dos números reales positivos, a(0) y b(0) se construye la
> secuencia
>
> a(n) = rq((a(n-1)^2 + b(n-1)^2)/2)
>
> b(n) = rq(a(n-1)b(n-1))
>
> esto es, la media geométrica y la media armónica.

Supongo que en vez de armónica quisiste decir cuadrática.

> En el límite n -> oo,
> ¿a qué tienden a y b? (No sé la respuesta, solo pregunto)
>
> --
>
> Antonio


Creo que tienden a (a0 + b0)/4 + rq(a0b0)/2,
es decir a la media aritmética entre las medias
aritmética y geométrica.

jhn

jhnieto***gmail.com escribió:
> On 26 oct, 14:21, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> Partiendo de dos números reales positivos, a(0) y b(0) se construye la
>> secuencia
>>
>> a(n) = rq((a(n-1)^2 + b(n-1)^2)/2)
>>
>> b(n) = rq(a(n-1)b(n-1))
>>
>> esto es, la media geométrica y la media armónica.
>
> Supongo que en vez de armónica quisiste decir cuadrática.

SÃ***, por supuesto.

>
>> En el lÃ***mite n -> oo,
>> ¿a qué tienden a y b? (No sé la respuesta, solo pregunto)
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
>
> Creo que tienden a (a0 + b0)/4 + rq(a0b0)/2,
> es decir a la media aritmética entre las medias
> aritmética y geométrica.

No, fÃ***jate que para a(0) = 0, b(0)= 2 tiende a

a(oo) = 1.49767

mientras que

(a(0)+b(0))/4 + rq(a(0)b(0))/2 =

=(rq(a(0)) + rq(b(0))^2/4 = (1+ rq(2))^2/4 =

= 3/4 + rq(2)/2 = 1.45711

--

Antonio

jhnieto***gmail.com escribió:
> On 26 oct, 14:21, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> Partiendo de dos números reales positivos, a(0) y b(0) se construye la
>> secuencia
>>
>> a(n) = rq((a(n-1)^2 + b(n-1)^2)/2)
>>
>> b(n) = rq(a(n-1)b(n-1))
>>
>> esto es, la media geométrica y la media armónica.
>
> Supongo que en vez de armónica quisiste decir cuadrática.

SÃ***, por supuesto.

>
>> En el lÃ***mite n -> oo,
>> ¿a qué tienden a y b? (No sé la respuesta, solo pregunto)
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
>
> Creo que tienden a (a0 + b0)/4 + rq(a0b0)/2,
> es decir a la media aritmética entre las medias
> aritmética y geométrica.

No, fÃ***jate que para a(0) = 0, b(0)= 2 tiende a

a(oo) = 1.49767

mientras que

(a(0)+b(0))/4 + rq(a(0)b(0))/2 =

=(rq(a(0)) + rq(b(0))^2/4 = (1+ rq(2))^2/4 =

= 3/4 + rq(2)/2 = 1.45711

--

Antonio

jhnieto***gmail.com escribió:
> On 26 oct, 14:21, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> Partiendo de dos números reales positivos, a(0) y b(0) se construye la
>> secuencia
>>
>> a(n) = rq((a(n-1)^2 + b(n-1)^2)/2)
>>
>> b(n) = rq(a(n-1)b(n-1))
>>
>> esto es, la media geométrica y la media armónica.
>
> Supongo que en vez de armónica quisiste decir cuadrática.

SÃ***, por supuesto.

>
>> En el lÃ***mite n -> oo,
>> ¿a qué tienden a y b? (No sé la respuesta, solo pregunto)
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
>
> Creo que tienden a (a0 + b0)/4 + rq(a0b0)/2,
> es decir a la media aritmética entre las medias
> aritmética y geométrica.

No, fÃ***jate que para a(0) = 0, b(0)= 2 tiende a

a(oo) = 1.49767

mientras que

(a(0)+b(0))/4 + rq(a(0)b(0))/2 =

=(rq(a(0)) + rq(b(0))^2/4 = (1+ rq(2))^2/4 =

= 3/4 + rq(2)/2 = 1.45711

--

Antonio

Antonio González escribió:
> Partiendo de dos números reales positivos, a(0) y b(0) se construye la
> secuencia
>
>
> a(n) = rq((a(n-1)^2 + b(n-1)^2)/2)
>
> b(n) = rq(a(n-1)b(n-1))
>
> esto es, la media geométrica y la media armónica. En el lÃ***mite n -> oo,
> ¿a qué tienden a y b? (No sé la respuesta, solo pregunto)
>

Como se trata de funciones homogéneas, es conveniente definir las cantidades

P(n) = a(n)b(n)

R(n) = a(n)/b(n)

que cumplen las recurrencias

R(n) = rq((a(n-1)^2 + b(n-1)^2)/(2a(n-1)b(n-1))) =

= rq((R(n-1) + 1/R(n-1))/2)

P(n) = R(n)P(n-1)

R(0) = a(0)/b(0)

P(0) = a(0)b(0)

La recurrencia para R(n) es independiente de P(n). Una vez resuelta, se
puede hallar P como

P(n) = P(0) prod_(n=1)^n R(n)

y el lÃ***mite buscado es

a(oo) = b(oo) = rq(a(0)b(0) prod_1^oo R(n))

Ahora bien, ¿cuánto vale R(n)? ¿A qué tiende su producto?

--

Antonio

Antonio González escribió:
> Partiendo de dos números reales positivos, a(0) y b(0) se construye la
> secuencia
>
>
> a(n) = rq((a(n-1)^2 + b(n-1)^2)/2)
>
> b(n) = rq(a(n-1)b(n-1))
>
> esto es, la media geométrica y la media armónica. En el lÃ***mite n -> oo,
> ¿a qué tienden a y b? (No sé la respuesta, solo pregunto)
>

Como se trata de funciones homogéneas, es conveniente definir las cantidades

P(n) = a(n)b(n)

R(n) = a(n)/b(n)

que cumplen las recurrencias

R(n) = rq((a(n-1)^2 + b(n-1)^2)/(2a(n-1)b(n-1))) =

= rq((R(n-1) + 1/R(n-1))/2)

P(n) = R(n)P(n-1)

R(0) = a(0)/b(0)

P(0) = a(0)b(0)

La recurrencia para R(n) es independiente de P(n). Una vez resuelta, se
puede hallar P como

P(n) = P(0) prod_(n=1)^n R(n)

y el lÃ***mite buscado es

a(oo) = b(oo) = rq(a(0)b(0) prod_1^oo R(n))

Ahora bien, ¿cuánto vale R(n)? ¿A qué tiende su producto?

--

Antonio

Antonio González escribió:
> Partiendo de dos números reales positivos, a(0) y b(0) se construye la
> secuencia
>
>
> a(n) = rq((a(n-1)^2 + b(n-1)^2)/2)
>
> b(n) = rq(a(n-1)b(n-1))
>
> esto es, la media geométrica y la media armónica. En el lÃ***mite n -> oo,
> ¿a qué tienden a y b? (No sé la respuesta, solo pregunto)
>

Como se trata de funciones homogéneas, es conveniente definir las cantidades

P(n) = a(n)b(n)

R(n) = a(n)/b(n)

que cumplen las recurrencias

R(n) = rq((a(n-1)^2 + b(n-1)^2)/(2a(n-1)b(n-1))) =

= rq((R(n-1) + 1/R(n-1))/2)

P(n) = R(n)P(n-1)

R(0) = a(0)/b(0)

P(0) = a(0)b(0)

La recurrencia para R(n) es independiente de P(n). Una vez resuelta, se
puede hallar P como

P(n) = P(0) prod_(n=1)^n R(n)

y el lÃ***mite buscado es

a(oo) = b(oo) = rq(a(0)b(0) prod_1^oo R(n))

Ahora bien, ¿cuánto vale R(n)? ¿A qué tiende su producto?

--

Antonio