Hola a tod***s. Intentaré explicar un poco más mi anterior pregunta.

Supongamos que tenemos la tabla de diferencias divididas siguiente:

x0 =0 f[x0]=0

x1 =1 f[x1]=1

x2=3 f[x2]=27

x3=4 f[x3]=64

f[x0,x1]= (f[x0]-f[x1])/x0-x1 = 1

f[x1,x2]= (f[x1]-f[x2])/x1-x2 = 13

f[x2,x3]= (f[x2]-f[x3])/x2-x3 = 37

f[x0,x1,x2] = 4

f[x0,x1,x2,x3]= 1

f[x1,x2,x3] = 8

Nos piden que sin desarrollar el polinomio de interpolación, hallemos la
derivada primera y segunda de f en el punto x=3.

La relación entre la primera derivada y la diferencia dividida, por el
terorema del valor medio es la siguiente:

f ' (c) = f[x0] - f[x1] / x0 - x1. , para algún c entre x0 y x1. Si ponemos
c = 3, podemos decir que

siendo x2=3, f ' (3) = f[x2] - f[x3] / x2 - x3 = 37.

Pero también podríamos haber puesto a x2=3 "en el otro extremo" del
intervalo, es decir,

f ' (3) = f[x1] - f[x2] / x1 - x2 = 13.

Si todo esto es correcto:

1.- ¿Qué valor tomamos para f ' (3) ?

2.- Si desarrollamos el polinomio, p(x) = x^3, y p ' (x) = 3x^2, siendo p '
(3) = 27, que no coincide con ningún valor anterior. ¿Por qué?.

3.- ¿Cómo se haría con la derivada segunda?.

En definitiva, me gustaría saber cómo identificar derivadas de cualquier
orden sólo con la tabla de diferencias divididas y al contrario, generar la
tabla de diferencias divididas a partir de ciertos puntos, sus valores de f
y alguna derivada.

Gracias a tod***s.