Sea a un número real con a > 1.Resolver la ecuación en x:

(a^(1/x))·x + (a^x)/x = 2a

Saludos.

Javier Esquinas escribió:
> Sea a un número real con a > 1.Resolver la ecuación en x:
>
> (a^(1/x))·x + (a^x)/x = 2a
>

Consideremos la función

f(t) = a^(a^t - t)

Se trata de hallar

x = a^t

tal que

f(-t) + f(t) = 2a

Ahora bien, la función f(t) + f(-t) es par y posee un extremo (máximo o
mÃ***nimo) en t = 0. Derivando dos veces, vemos que es un mÃ***nimo.

Pero el valor en dicho mÃ***nimo es justamente 2f(0)= 2a.

Por otro lado puede demostrarse que para t > 0, f'(t) + f'(-t) > 0, esto
es es una función siempre creciente (y para t < 0 es decreciente).

Por tanto la única solución es t=0 y x=1.

--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> Sea a un número real con a > 1.Resolver la ecuación en x:
>
> (a^(1/x))·x + (a^x)/x = 2a
>

Consideremos la función

f(t) = a^(a^t - t)

Se trata de hallar

x = a^t

tal que

f(-t) + f(t) = 2a

Ahora bien, la función f(t) + f(-t) es par y posee un extremo (máximo o
mÃ***nimo) en t = 0. Derivando dos veces, vemos que es un mÃ***nimo.

Pero el valor en dicho mÃ***nimo es justamente 2f(0)= 2a.

Por otro lado puede demostrarse que para t > 0, f'(t) + f'(-t) > 0, esto
es es una función siempre creciente (y para t < 0 es decreciente).

Por tanto la única solución es t=0 y x=1.

--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> Sea a un número real con a > 1.Resolver la ecuación en x:
>
> (a^(1/x))·x + (a^x)/x = 2a
>

Consideremos la función

f(t) = a^(a^t - t)

Se trata de hallar

x = a^t

tal que

f(-t) + f(t) = 2a

Ahora bien, la función f(t) + f(-t) es par y posee un extremo (máximo o
mÃ***nimo) en t = 0. Derivando dos veces, vemos que es un mÃ***nimo.

Pero el valor en dicho mÃ***nimo es justamente 2f(0)= 2a.

Por otro lado puede demostrarse que para t > 0, f'(t) + f'(-t) > 0, esto
es es una función siempre creciente (y para t < 0 es decreciente).

Por tanto la única solución es t=0 y x=1.

--

Antonio

Javier Esquinas wrote:
> Sea a un número real con a > 1.Resolver la ecuación en x:
>
> (a^(1/x))·x + (a^x)/x = 2a
>

x = 1 es una solución obvia. Para ver que es única, basta con estudiar la
derivada de

f(x) = a^x + x^2·a^(1/x) - 2ax


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:
> Sea a un número real con a > 1.Resolver la ecuación en x:
>
> (a^(1/x))·x + (a^x)/x = 2a
>

x = 1 es una solución obvia. Para ver que es única, basta con estudiar la
derivada de

f(x) = a^x + x^2·a^(1/x) - 2ax


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:
> Sea a un número real con a > 1.Resolver la ecuación en x:
>
> (a^(1/x))·x + (a^x)/x = 2a
>

x = 1 es una solución obvia. Para ver que es única, basta con estudiar la
derivada de

f(x) = a^x + x^2·a^(1/x) - 2ax


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

On 6 nov, 12:44, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Javier Esquinas wrote:
> > Sea a un número real con a > 1.Resolver la ecuación en x:
>
> > (a^(1/x))·x + (a^x)/x = 2a
>
> x = 1 es una solución obvia. Para ver que es única, basta con estudiar la
> derivada de
>
> f(x) = a^x + x^2·a^(1/x) - 2ax
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com

Y la desigualdad de la media geométrica y aritmética se os ha
olvidado? :-)

Saludos.

On 6 nov, 12:44, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Javier Esquinas wrote:
> > Sea a un número real con a > 1.Resolver la ecuación en x:
>
> > (a^(1/x))·x + (a^x)/x = 2a
>
> x = 1 es una solución obvia. Para ver que es única, basta con estudiar la
> derivada de
>
> f(x) = a^x + x^2·a^(1/x) - 2ax
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com

Y la desigualdad de la media geométrica y aritmética se os ha
olvidado? :-)

Saludos.

On 6 nov, 12:44, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Javier Esquinas wrote:
> > Sea a un número real con a > 1.Resolver la ecuación en x:
>
> > (a^(1/x))·x + (a^x)/x = 2a
>
> x = 1 es una solución obvia. Para ver que es única, basta con estudiar la
> derivada de
>
> f(x) = a^x + x^2·a^(1/x) - 2ax
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com

Y la desigualdad de la media geométrica y aritmética se os ha
olvidado? :-)

Saludos.