Dos socios forman una empresa con un capital de 100.000 EURO.Uno trabaja 3
días a la semana y el otro 2 días.Después de algún tiempo disuelven
la sociedad y cada uno recibe 99.000 EURO.¿Cual fue la aportación de
capital inicial de cada uno de ellos a la sociedad?


Demostrar que en cualquier triángulo ABC,
(sen(A/2))^2+(sen(B/2))^2+(sen(C/2))^2<1

Saludos
León-Sotelo

León-Sotelo wrote:
>
> Demostrar que en cualquier triángulo ABC,
> (sen(A/2))^2+(sen(B/2))^2+(sen(C/2))^2<1
>

Tenemos que c = pi - (a + b), 0 <= a, b <= pi

Y son equivalentes

sen^2(a/2)) + sen^2(b/2)^2 + sen^2(c/2) < 1

sen^2(a/2)) + sen^2(b/2)^2 + sen^2((pi/2 - (a + b)/2) < 1

sen^2(a/2)) + sen^2(b/2)^2 + cos^2((a + b)/2) < 1

sen^2(a/2)) + sen^2(b/2)^2 + cos^2((a + b)/2) < 1

(1 - cos(a))/2 + (1 - cos(b))/2 + (1 + cos(a + b))/2 < 1

1 - cos(a) + 1 - cos(b) + 1 + cos(a + b) < 2

cos(a + b) - cos(a) - cos(b) < -1

cos(a)cos(b) - cos(a) - cos(b) + 1 < sen(a)sen(b)

(cos(a) - 1)(cos(b) - 1) < sen(a)sen(b)

((1 - cos(a))/sen(a))(1 - cos(b))/sen(b) < 1

tg(a/2)tg(b/2) < 1

Pero esto último es evidente, pues

b/2 < pi/2 - a/2 ===> tg(b/2) < tg(pi/2 - a/2) = cotg(a/2)

tg(a/2)tg(b/2) < tg(a/2)cotg(a/2) = 1 (q.e.d)


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

León-Sotelo wrote:
>
> Demostrar que en cualquier triángulo ABC,
> (sen(A/2))^2+(sen(B/2))^2+(sen(C/2))^2<1
>

Tenemos que c = pi - (a + b), 0 <= a, b <= pi

Y son equivalentes

sen^2(a/2)) + sen^2(b/2)^2 + sen^2(c/2) < 1

sen^2(a/2)) + sen^2(b/2)^2 + sen^2((pi/2 - (a + b)/2) < 1

sen^2(a/2)) + sen^2(b/2)^2 + cos^2((a + b)/2) < 1

sen^2(a/2)) + sen^2(b/2)^2 + cos^2((a + b)/2) < 1

(1 - cos(a))/2 + (1 - cos(b))/2 + (1 + cos(a + b))/2 < 1

1 - cos(a) + 1 - cos(b) + 1 + cos(a + b) < 2

cos(a + b) - cos(a) - cos(b) < -1

cos(a)cos(b) - cos(a) - cos(b) + 1 < sen(a)sen(b)

(cos(a) - 1)(cos(b) - 1) < sen(a)sen(b)

((1 - cos(a))/sen(a))(1 - cos(b))/sen(b) < 1

tg(a/2)tg(b/2) < 1

Pero esto último es evidente, pues

b/2 < pi/2 - a/2 ===> tg(b/2) < tg(pi/2 - a/2) = cotg(a/2)

tg(a/2)tg(b/2) < tg(a/2)cotg(a/2) = 1 (q.e.d)


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

León-Sotelo wrote:
>
> Demostrar que en cualquier triángulo ABC,
> (sen(A/2))^2+(sen(B/2))^2+(sen(C/2))^2<1
>

Tenemos que c = pi - (a + b), 0 <= a, b <= pi

Y son equivalentes

sen^2(a/2)) + sen^2(b/2)^2 + sen^2(c/2) < 1

sen^2(a/2)) + sen^2(b/2)^2 + sen^2((pi/2 - (a + b)/2) < 1

sen^2(a/2)) + sen^2(b/2)^2 + cos^2((a + b)/2) < 1

sen^2(a/2)) + sen^2(b/2)^2 + cos^2((a + b)/2) < 1

(1 - cos(a))/2 + (1 - cos(b))/2 + (1 + cos(a + b))/2 < 1

1 - cos(a) + 1 - cos(b) + 1 + cos(a + b) < 2

cos(a + b) - cos(a) - cos(b) < -1

cos(a)cos(b) - cos(a) - cos(b) + 1 < sen(a)sen(b)

(cos(a) - 1)(cos(b) - 1) < sen(a)sen(b)

((1 - cos(a))/sen(a))(1 - cos(b))/sen(b) < 1

tg(a/2)tg(b/2) < 1

Pero esto último es evidente, pues

b/2 < pi/2 - a/2 ===> tg(b/2) < tg(pi/2 - a/2) = cotg(a/2)

tg(a/2)tg(b/2) < tg(a/2)cotg(a/2) = 1 (q.e.d)


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

On Fri, 16 Nov 2007, León-Sotelo wrote:

> Dos socios forman una empresa con un capital de 100.000 EURO.Uno trabaja 3
> días a la semana y el otro 2 días.Después de algún tiempo disuelven
> la sociedad y cada uno recibe 99.000 EURO.¿Cual fue la aportación de
> capital inicial de cada uno de ellos a la sociedad?
>

min: Z;
inia + inib = 100000;
inia+fina = 99000;
inib+finb = 99000;
3*fina-2*finb=0;
fina+finb=98000;
int inia, inib, fina, finb;


Value of objective function: 0

Actual values of the variables:
Z 0
inia 59800
inib 40200
fina 39200
finb 58800

Saludos

On Fri, 16 Nov 2007, León-Sotelo wrote:

> Dos socios forman una empresa con un capital de 100.000 EURO.Uno trabaja 3
> días a la semana y el otro 2 días.Después de algún tiempo disuelven
> la sociedad y cada uno recibe 99.000 EURO.¿Cual fue la aportación de
> capital inicial de cada uno de ellos a la sociedad?
>

min: Z;
inia + inib = 100000;
inia+fina = 99000;
inib+finb = 99000;
3*fina-2*finb=0;
fina+finb=98000;
int inia, inib, fina, finb;


Value of objective function: 0

Actual values of the variables:
Z 0
inia 59800
inib 40200
fina 39200
finb 58800

Saludos

On Fri, 16 Nov 2007, León-Sotelo wrote:

> Dos socios forman una empresa con un capital de 100.000 EURO.Uno trabaja 3
> días a la semana y el otro 2 días.Después de algún tiempo disuelven
> la sociedad y cada uno recibe 99.000 EURO.¿Cual fue la aportación de
> capital inicial de cada uno de ellos a la sociedad?
>

min: Z;
inia + inib = 100000;
inia+fina = 99000;
inib+finb = 99000;
3*fina-2*finb=0;
fina+finb=98000;
int inia, inib, fina, finb;


Value of objective function: 0

Actual values of the variables:
Z 0
inia 59800
inib 40200
fina 39200
finb 58800

Saludos

On 16 nov, 09:03, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Demostrar que en cualquier triángulo ABC,
> (sen(A/2))^2+(sen(B/2))^2+(sen(C/2))^2<1
>
> Saludos
> León-Sotelo

Ando un poco pillado de tiempo y no lo he podido acabar pero partiendo
de que
(sen(x/2))^2 = (1 - cosx)/2

tenemos que :

(sen(A/2))^2+(sen(B/2))^2+(sen(C/2))^2 = (1 - cosA)/2 + (1 - cosB)/2 +
(1 - cosC)/2 =

=(3 - (cosA + cosB + cosC))/2

con lo cual debemos de demostrar que cosA + cosB + cosC > 1 en todo
triángulo

Y ahora lo que haría es expresar el coseno del ángulo en función de
los lados por el teorema del coseno.Luego veo si lo puedo acabar.

Saludos.

On 16 nov, 09:03, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Demostrar que en cualquier triángulo ABC,
> (sen(A/2))^2+(sen(B/2))^2+(sen(C/2))^2<1
>
> Saludos
> León-Sotelo

Ando un poco pillado de tiempo y no lo he podido acabar pero partiendo
de que
(sen(x/2))^2 = (1 - cosx)/2

tenemos que :

(sen(A/2))^2+(sen(B/2))^2+(sen(C/2))^2 = (1 - cosA)/2 + (1 - cosB)/2 +
(1 - cosC)/2 =

=(3 - (cosA + cosB + cosC))/2

con lo cual debemos de demostrar que cosA + cosB + cosC > 1 en todo
triángulo

Y ahora lo que haría es expresar el coseno del ángulo en función de
los lados por el teorema del coseno.Luego veo si lo puedo acabar.

Saludos.

On 16 nov, 09:03, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Demostrar que en cualquier triángulo ABC,
> (sen(A/2))^2+(sen(B/2))^2+(sen(C/2))^2<1
>
> Saludos
> León-Sotelo

Ando un poco pillado de tiempo y no lo he podido acabar pero partiendo
de que
(sen(x/2))^2 = (1 - cosx)/2

tenemos que :

(sen(A/2))^2+(sen(B/2))^2+(sen(C/2))^2 = (1 - cosA)/2 + (1 - cosB)/2 +
(1 - cosC)/2 =

=(3 - (cosA + cosB + cosC))/2

con lo cual debemos de demostrar que cosA + cosB + cosC > 1 en todo
triángulo

Y ahora lo que haría es expresar el coseno del ángulo en función de
los lados por el teorema del coseno.Luego veo si lo puedo acabar.

Saludos.