Roberto Selva Gomis profesor de Informática y Matemáticas en el IES
Miguel Hernández de Alicante (España) me indica textualmente que
"haga propaganda" de su Blog para que le deis opiniones sobre el
mismo.Así lo hago.

http://problemate.blogspot.com/2007/...e-secreto.html

1)Los números naturales 22, 23, y 24 tienen la siguiente propiedad:
los exponentes de los factores primos de su descomposición son todos
impares: 22 = 2^1*11^1, 23 = 23^1 y 24 = 2^3*3^1
¿Cuál es el mayor número de naturales consecutivos que pueden tener
esa propiedad?.

2)Probar que para todo entero positivo n, la expresión decimal de
1/n + 1/(1+n) + 1/(2+n) es`periódica mixta.


Saludos
León-Sotelo

On 22 nov, 10:25, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Roberto Selva Gomis profesor de Informática y Matemáticas en el IES
> Miguel Hernández de Alicante (España) me indica textualmente que
> "haga propaganda" de su Blog para que le deis opiniones sobre el
> mismo.Así lo hago.
>
> http://problemate.blogspot.com/2007/...e-secreto.html
>
> 1)Los números naturales 22, 23, y 24 tienen la siguiente propiedad:
> los exponentes de los factores primos de su descomposición son todos
> impares: 22 = 2^1*11^1, 23 = 23^1 y 24 = 2^3*3^1
> ¿Cuál es el mayor número de naturales consecutivos que pueden tener
> esa propiedad?.
>
> 2)Probar que para todo entero positivo n, la expresión decimal de
> 1/n + 1/(1+n) + 1/(2+n) es`periódica mixta.
>
> Saludos
> León-Sotelo

Al menos 7 hay : {29,30,31,32,33,34,35}

Saludos.

On 22 nov, 10:25, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Roberto Selva Gomis profesor de Informática y Matemáticas en el IES
> Miguel Hernández de Alicante (España) me indica textualmente que
> "haga propaganda" de su Blog para que le deis opiniones sobre el
> mismo.Así lo hago.
>
> http://problemate.blogspot.com/2007/...e-secreto.html
>
> 1)Los números naturales 22, 23, y 24 tienen la siguiente propiedad:
> los exponentes de los factores primos de su descomposición son todos
> impares: 22 = 2^1*11^1, 23 = 23^1 y 24 = 2^3*3^1
> ¿Cuál es el mayor número de naturales consecutivos que pueden tener
> esa propiedad?.
>
> 2)Probar que para todo entero positivo n, la expresión decimal de
> 1/n + 1/(1+n) + 1/(2+n) es`periódica mixta.
>
> Saludos
> León-Sotelo

Al menos 7 hay : {29,30,31,32,33,34,35}

Saludos.

On 22 nov, 10:25, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Roberto Selva Gomis profesor de Informática y Matemáticas en el IES
> Miguel Hernández de Alicante (España) me indica textualmente que
> "haga propaganda" de su Blog para que le deis opiniones sobre el
> mismo.Así lo hago.
>
> http://problemate.blogspot.com/2007/...e-secreto.html
>
> 1)Los números naturales 22, 23, y 24 tienen la siguiente propiedad:
> los exponentes de los factores primos de su descomposición son todos
> impares: 22 = 2^1*11^1, 23 = 23^1 y 24 = 2^3*3^1
> ¿Cuál es el mayor número de naturales consecutivos que pueden tener
> esa propiedad?.
>
> 2)Probar que para todo entero positivo n, la expresión decimal de
> 1/n + 1/(1+n) + 1/(2+n) es`periódica mixta.
>
> Saludos
> León-Sotelo

Al menos 7 hay : {29,30,31,32,33,34,35}

Saludos.

On 22 nov, 10:25, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> 2)Probar que para todo entero positivo n, la expresión decimal de
> 1/n + 1/(1+n) + 1/(2+n) es`periódica mixta.
>
> Saludos
> León-Sotelo


En primer lugar 1/n + 1/(1+n) + 1/(2+n) = (3n^2 + 6n + 2)/n(n + 1)(n +
2)

Sabemos que si en la fracción irreducible p/q el denominador q tiene
el factor 2 ó 5 entonces sus expresión decimal será periódica mixta.

Veamos que la expresión (3n^2 + 6n + 2)/n(n + 1)(n + 2) cumple dicha
condición.
Tenemos que n(n + 1)(n + 2) es claramente par,luego tiene el factor
2.Pudiera ocurrir que al simplificar la fracción tanto numerador como
denominador fueran impares pero NO es el caso que nos ocupa.

Si el numerador es para es porque n es par,dígamos n =
2a.Sustituyendo:

(12a^2 + 12a + 2)/2a(2a + 1)(2a + 2) = (6a^2 + 6a + 1)/2a(2a + 1)(a +
1) =

(6a(a + 1) + 1)/2a(2a + 1)(a + 1)

Ahora ya es claro que el numerador es siempre impar mientras que el
denominador es siempre par.
Con lo que la fracción será periodica mixta.


Saludos.

On 22 nov, 10:25, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> 2)Probar que para todo entero positivo n, la expresión decimal de
> 1/n + 1/(1+n) + 1/(2+n) es`periódica mixta.
>
> Saludos
> León-Sotelo


En primer lugar 1/n + 1/(1+n) + 1/(2+n) = (3n^2 + 6n + 2)/n(n + 1)(n +
2)

Sabemos que si en la fracción irreducible p/q el denominador q tiene
el factor 2 ó 5 entonces sus expresión decimal será periódica mixta.

Veamos que la expresión (3n^2 + 6n + 2)/n(n + 1)(n + 2) cumple dicha
condición.
Tenemos que n(n + 1)(n + 2) es claramente par,luego tiene el factor
2.Pudiera ocurrir que al simplificar la fracción tanto numerador como
denominador fueran impares pero NO es el caso que nos ocupa.

Si el numerador es para es porque n es par,dígamos n =
2a.Sustituyendo:

(12a^2 + 12a + 2)/2a(2a + 1)(2a + 2) = (6a^2 + 6a + 1)/2a(2a + 1)(a +
1) =

(6a(a + 1) + 1)/2a(2a + 1)(a + 1)

Ahora ya es claro que el numerador es siempre impar mientras que el
denominador es siempre par.
Con lo que la fracción será periodica mixta.


Saludos.

On 22 nov, 10:25, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> 2)Probar que para todo entero positivo n, la expresión decimal de
> 1/n + 1/(1+n) + 1/(2+n) es`periódica mixta.
>
> Saludos
> León-Sotelo


En primer lugar 1/n + 1/(1+n) + 1/(2+n) = (3n^2 + 6n + 2)/n(n + 1)(n +
2)

Sabemos que si en la fracción irreducible p/q el denominador q tiene
el factor 2 ó 5 entonces sus expresión decimal será periódica mixta.

Veamos que la expresión (3n^2 + 6n + 2)/n(n + 1)(n + 2) cumple dicha
condición.
Tenemos que n(n + 1)(n + 2) es claramente par,luego tiene el factor
2.Pudiera ocurrir que al simplificar la fracción tanto numerador como
denominador fueran impares pero NO es el caso que nos ocupa.

Si el numerador es para es porque n es par,dígamos n =
2a.Sustituyendo:

(12a^2 + 12a + 2)/2a(2a + 1)(2a + 2) = (6a^2 + 6a + 1)/2a(2a + 1)(a +
1) =

(6a(a + 1) + 1)/2a(2a + 1)(a + 1)

Ahora ya es claro que el numerador es siempre impar mientras que el
denominador es siempre par.
Con lo que la fracción será periodica mixta.


Saludos.

On 22 nov, 10:25, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Roberto Selva Gomis profesor de Informática y Matemáticas en el IES
> Miguel Hernández de Alicante (España) me indica textualmente que
> "haga propaganda" de su Blog para que le deis opiniones sobre el
> mismo.Así lo hago.
>
> http://problemate.blogspot.com/2007/...e-secreto.html
>
> Saludos
> León-Sotelo

Espero que en justa correspondencia Roberto Selva Gomis nos cite en su
blog :-)

Saludos.

On 22 nov, 10:25, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Roberto Selva Gomis profesor de Informática y Matemáticas en el IES
> Miguel Hernández de Alicante (España) me indica textualmente que
> "haga propaganda" de su Blog para que le deis opiniones sobre el
> mismo.Así lo hago.
>
> http://problemate.blogspot.com/2007/...e-secreto.html
>
> Saludos
> León-Sotelo

Espero que en justa correspondencia Roberto Selva Gomis nos cite en su
blog :-)

Saludos.

On 22 nov, 10:25, "León-Sotelo" <francisco.lsot...***gmail.com> wrote:
> Roberto Selva Gomis profesor de Informática y Matemáticas en el IES
> Miguel Hernández de Alicante (España) me indica textualmente que
> "haga propaganda" de su Blog para que le deis opiniones sobre el
> mismo.Así lo hago.
>
> http://problemate.blogspot.com/2007/...e-secreto.html
>
> Saludos
> León-Sotelo

Espero que en justa correspondencia Roberto Selva Gomis nos cite en su
blog :-)

Saludos.