como puedo calcular area y perimetro de una elipse usando integrales

susy wrote:
> como puedo calcular area y perimetro de una elipse usando integrales

Sea la elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

Para calcular el área en cartesianas,


y ^2/b^2 = 1 - x^2/a^2 = (a^2 - x^2)/a^2

y = +/- (b/a)rq(a^2 - x^2)

El "+" corresponde al arco sobre el eje OX y el "-" al situado por debajo.
Por simetría, podemos poner

S = (4b/a)*Int(rq(a^2 - x^2), x, 0, a)

Haciendo x = a*sen(t), dx = a*cos(t)dt, x = 0 ---> t = 0, x = a --> t =
pi/2, queda

S = (4b/a)*Int(a*rq(1 - sen^2(t))*a*cos(t), t, 0, pi/2) = (4ab)Int(cos^2(t),
t, 0, pi/2)

= (4ab)Int((1 - cos(2t))/2, t, 0, pi/2) = (4ab)((pi/4 - 0) -
(sen(2*pi/2) - sen(2*0))/4) = pi*a*b

Si se trata de una circunferencia, a = b = r y S = pi*r^2.

El perímetro es algo más complicado, pues la primitiva resultante no puede
expresarse mediante las llamadas funciones elementales (polinómicas,
racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus
inversas). Se trata de funciones elípticas como las del reciente mensaje de
Antonio Gonzalez. Pero podemos al menos plantearlo:

En general, la longitud del arco de curva se obtiene integrando el
diferencial de arco ds = rq(1 + (y'(x))^2), de manera que

L = 4*Int(rq(1 + (((b/a)^2rq(a^2 - x^2))')^2), x, 0, pi/2) =

= 4*Int(rq(1 + ((b/a)^2(-x/rq(a^2 - x^2))^2), x, 0, pi/2) =

= 4*Int(rq(1 + ((b/a)^2x^2/(a^2 - x^2)), x, 0, pi/2)

Esta integral puede calcularse numéricamente, o expresarse por medio de
funciones elípticas, en función de a y b. Los cálculos se pueden hacer
también empleando ecuaciones paramétricas, pero eso no cambia nada
sustancial.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

susy wrote:
> como puedo calcular area y perimetro de una elipse usando integrales

Sea la elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

Para calcular el área en cartesianas,


y ^2/b^2 = 1 - x^2/a^2 = (a^2 - x^2)/a^2

y = +/- (b/a)rq(a^2 - x^2)

El "+" corresponde al arco sobre el eje OX y el "-" al situado por debajo.
Por simetría, podemos poner

S = (4b/a)*Int(rq(a^2 - x^2), x, 0, a)

Haciendo x = a*sen(t), dx = a*cos(t)dt, x = 0 ---> t = 0, x = a --> t =
pi/2, queda

S = (4b/a)*Int(a*rq(1 - sen^2(t))*a*cos(t), t, 0, pi/2) = (4ab)Int(cos^2(t),
t, 0, pi/2)

= (4ab)Int((1 - cos(2t))/2, t, 0, pi/2) = (4ab)((pi/4 - 0) -
(sen(2*pi/2) - sen(2*0))/4) = pi*a*b

Si se trata de una circunferencia, a = b = r y S = pi*r^2.

El perímetro es algo más complicado, pues la primitiva resultante no puede
expresarse mediante las llamadas funciones elementales (polinómicas,
racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus
inversas). Se trata de funciones elípticas como las del reciente mensaje de
Antonio Gonzalez. Pero podemos al menos plantearlo:

En general, la longitud del arco de curva se obtiene integrando el
diferencial de arco ds = rq(1 + (y'(x))^2), de manera que

L = 4*Int(rq(1 + (((b/a)^2rq(a^2 - x^2))')^2), x, 0, pi/2) =

= 4*Int(rq(1 + ((b/a)^2(-x/rq(a^2 - x^2))^2), x, 0, pi/2) =

= 4*Int(rq(1 + ((b/a)^2x^2/(a^2 - x^2)), x, 0, pi/2)

Esta integral puede calcularse numéricamente, o expresarse por medio de
funciones elípticas, en función de a y b. Los cálculos se pueden hacer
también empleando ecuaciones paramétricas, pero eso no cambia nada
sustancial.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

susy wrote:
> como puedo calcular area y perimetro de una elipse usando integrales

Sea la elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

Para calcular el área en cartesianas,


y ^2/b^2 = 1 - x^2/a^2 = (a^2 - x^2)/a^2

y = +/- (b/a)rq(a^2 - x^2)

El "+" corresponde al arco sobre el eje OX y el "-" al situado por debajo.
Por simetría, podemos poner

S = (4b/a)*Int(rq(a^2 - x^2), x, 0, a)

Haciendo x = a*sen(t), dx = a*cos(t)dt, x = 0 ---> t = 0, x = a --> t =
pi/2, queda

S = (4b/a)*Int(a*rq(1 - sen^2(t))*a*cos(t), t, 0, pi/2) = (4ab)Int(cos^2(t),
t, 0, pi/2)

= (4ab)Int((1 - cos(2t))/2, t, 0, pi/2) = (4ab)((pi/4 - 0) -
(sen(2*pi/2) - sen(2*0))/4) = pi*a*b

Si se trata de una circunferencia, a = b = r y S = pi*r^2.

El perímetro es algo más complicado, pues la primitiva resultante no puede
expresarse mediante las llamadas funciones elementales (polinómicas,
racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus
inversas). Se trata de funciones elípticas como las del reciente mensaje de
Antonio Gonzalez. Pero podemos al menos plantearlo:

En general, la longitud del arco de curva se obtiene integrando el
diferencial de arco ds = rq(1 + (y'(x))^2), de manera que

L = 4*Int(rq(1 + (((b/a)^2rq(a^2 - x^2))')^2), x, 0, pi/2) =

= 4*Int(rq(1 + ((b/a)^2(-x/rq(a^2 - x^2))^2), x, 0, pi/2) =

= 4*Int(rq(1 + ((b/a)^2x^2/(a^2 - x^2)), x, 0, pi/2)

Esta integral puede calcularse numéricamente, o expresarse por medio de
funciones elípticas, en función de a y b. Los cálculos se pueden hacer
también empleando ecuaciones paramétricas, pero eso no cambia nada
sustancial.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> susy wrote:
>> como puedo calcular area y perimetro de una elipse usando integrales
>
> Sea la elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
>
> Para calcular el área en cartesianas,
>
>
> y ^2/b^2 = 1 - x^2/a^2 = (a^2 - x^2)/a^2
>
> y = +/- (b/a)rq(a^2 - x^2)
>
> El "+" corresponde al arco sobre el eje OX y el "-" al situado por
> debajo. Por simetría, podemos poner
>
> S = (4b/a)*Int(rq(a^2 - x^2), x, 0, a)
>
> Haciendo x = a*sen(t), dx = a*cos(t)dt, x = 0 ---> t = 0, x = a --> t
> = pi/2, queda
>
> S = (4b/a)*Int(a*rq(1 - sen^2(t))*a*cos(t), t, 0, pi/2) =
> (4ab)Int(cos^2(t), t, 0, pi/2)
>
> = (4ab)Int((1 - cos(2t))/2, t, 0, pi/2) = (4ab)((pi/4 - 0) -
> (sen(2*pi/2) - sen(2*0))/4) = pi*a*b
>
> Si se trata de una circunferencia, a = b = r y S = pi*r^2.
>
> El perímetro es algo más complicado, pues la primitiva resultante no
> puede expresarse mediante las llamadas funciones elementales
> (polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas,
> trigonométricas y sus inversas). Se trata de funciones elípticas como
> las del reciente mensaje de Antonio Gonzalez. Pero podemos al menos
> plantearlo:
> En general, la longitud del arco de curva se obtiene integrando el
> diferencial de arco ds = rq(1 + (y'(x))^2), de manera que
>
> L = 4*Int(rq(1 + (((b/a)^2rq(a^2 - x^2))')^2), x, 0, pi/2) =
>
> = 4*Int(rq(1 + ((b/a)^2(-x/rq(a^2 - x^2))^2), x, 0, pi/2) =
>
> = 4*Int(rq(1 + ((b/a)^2x^2/(a^2 - x^2)), x, 0, pi/2)
>
> Esta integral puede calcularse numéricamente, o expresarse por medio
> de funciones elípticas, en función de a y b. Los cálculos se pueden
> hacer también empleando ecuaciones paramétricas, pero eso no cambia
> nada sustancial.

Bueno, algo si que cambia. La integral para el cálculo de la longitud de la
elipse resulta en una integral impropia, lo que la hace muy inadecuada para
un cálculo numérico. En paramétricas,

x = x(t), x' = dx/dt
y = y(t), y' = dy/dt

La longitud entre t0 y t1 sería

L = Int(rq(x'^2 + y'^2), t, t0, t1)

En nuestro caso,

x = a*cos(t), x' = -a*sen(t)
y = b*sen(t), y' = b*cos(t)

L = 4*Int(rq(a^2*sen^2(t) + b^2*cos^2(t)), t, 0, pi/2)

Que naturalmente tampoco se puede expresar como combinación de funciones
elementales, si a =/= b, pero se comporta mejor numéricamente.

Si introduces en la plantilla GeoGebra

http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...asRiemann.html

la función

f(x) = 4*sqrt(25(sin(x))^2 + 14(cos(x))^2)

(con esa sintaxis exactamente)

se obtiene, con 100 intervalos, 28.33025 para la suma inferior y 28.39308
para la superior. El valor real es ~=28.36165855....


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> susy wrote:
>> como puedo calcular area y perimetro de una elipse usando integrales
>
> Sea la elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
>
> Para calcular el área en cartesianas,
>
>
> y ^2/b^2 = 1 - x^2/a^2 = (a^2 - x^2)/a^2
>
> y = +/- (b/a)rq(a^2 - x^2)
>
> El "+" corresponde al arco sobre el eje OX y el "-" al situado por
> debajo. Por simetría, podemos poner
>
> S = (4b/a)*Int(rq(a^2 - x^2), x, 0, a)
>
> Haciendo x = a*sen(t), dx = a*cos(t)dt, x = 0 ---> t = 0, x = a --> t
> = pi/2, queda
>
> S = (4b/a)*Int(a*rq(1 - sen^2(t))*a*cos(t), t, 0, pi/2) =
> (4ab)Int(cos^2(t), t, 0, pi/2)
>
> = (4ab)Int((1 - cos(2t))/2, t, 0, pi/2) = (4ab)((pi/4 - 0) -
> (sen(2*pi/2) - sen(2*0))/4) = pi*a*b
>
> Si se trata de una circunferencia, a = b = r y S = pi*r^2.
>
> El perímetro es algo más complicado, pues la primitiva resultante no
> puede expresarse mediante las llamadas funciones elementales
> (polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas,
> trigonométricas y sus inversas). Se trata de funciones elípticas como
> las del reciente mensaje de Antonio Gonzalez. Pero podemos al menos
> plantearlo:
> En general, la longitud del arco de curva se obtiene integrando el
> diferencial de arco ds = rq(1 + (y'(x))^2), de manera que
>
> L = 4*Int(rq(1 + (((b/a)^2rq(a^2 - x^2))')^2), x, 0, pi/2) =
>
> = 4*Int(rq(1 + ((b/a)^2(-x/rq(a^2 - x^2))^2), x, 0, pi/2) =
>
> = 4*Int(rq(1 + ((b/a)^2x^2/(a^2 - x^2)), x, 0, pi/2)
>
> Esta integral puede calcularse numéricamente, o expresarse por medio
> de funciones elípticas, en función de a y b. Los cálculos se pueden
> hacer también empleando ecuaciones paramétricas, pero eso no cambia
> nada sustancial.

Bueno, algo si que cambia. La integral para el cálculo de la longitud de la
elipse resulta en una integral impropia, lo que la hace muy inadecuada para
un cálculo numérico. En paramétricas,

x = x(t), x' = dx/dt
y = y(t), y' = dy/dt

La longitud entre t0 y t1 sería

L = Int(rq(x'^2 + y'^2), t, t0, t1)

En nuestro caso,

x = a*cos(t), x' = -a*sen(t)
y = b*sen(t), y' = b*cos(t)

L = 4*Int(rq(a^2*sen^2(t) + b^2*cos^2(t)), t, 0, pi/2)

Que naturalmente tampoco se puede expresar como combinación de funciones
elementales, si a =/= b, pero se comporta mejor numéricamente.

Si introduces en la plantilla GeoGebra

http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...asRiemann.html

la función

f(x) = 4*sqrt(25(sin(x))^2 + 14(cos(x))^2)

(con esa sintaxis exactamente)

se obtiene, con 100 intervalos, 28.33025 para la suma inferior y 28.39308
para la superior. El valor real es ~=28.36165855....


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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
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Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> susy wrote:
>> como puedo calcular area y perimetro de una elipse usando integrales
>
> Sea la elipse x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
>
> Para calcular el área en cartesianas,
>
>
> y ^2/b^2 = 1 - x^2/a^2 = (a^2 - x^2)/a^2
>
> y = +/- (b/a)rq(a^2 - x^2)
>
> El "+" corresponde al arco sobre el eje OX y el "-" al situado por
> debajo. Por simetría, podemos poner
>
> S = (4b/a)*Int(rq(a^2 - x^2), x, 0, a)
>
> Haciendo x = a*sen(t), dx = a*cos(t)dt, x = 0 ---> t = 0, x = a --> t
> = pi/2, queda
>
> S = (4b/a)*Int(a*rq(1 - sen^2(t))*a*cos(t), t, 0, pi/2) =
> (4ab)Int(cos^2(t), t, 0, pi/2)
>
> = (4ab)Int((1 - cos(2t))/2, t, 0, pi/2) = (4ab)((pi/4 - 0) -
> (sen(2*pi/2) - sen(2*0))/4) = pi*a*b
>
> Si se trata de una circunferencia, a = b = r y S = pi*r^2.
>
> El perímetro es algo más complicado, pues la primitiva resultante no
> puede expresarse mediante las llamadas funciones elementales
> (polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas,
> trigonométricas y sus inversas). Se trata de funciones elípticas como
> las del reciente mensaje de Antonio Gonzalez. Pero podemos al menos
> plantearlo:
> En general, la longitud del arco de curva se obtiene integrando el
> diferencial de arco ds = rq(1 + (y'(x))^2), de manera que
>
> L = 4*Int(rq(1 + (((b/a)^2rq(a^2 - x^2))')^2), x, 0, pi/2) =
>
> = 4*Int(rq(1 + ((b/a)^2(-x/rq(a^2 - x^2))^2), x, 0, pi/2) =
>
> = 4*Int(rq(1 + ((b/a)^2x^2/(a^2 - x^2)), x, 0, pi/2)
>
> Esta integral puede calcularse numéricamente, o expresarse por medio
> de funciones elípticas, en función de a y b. Los cálculos se pueden
> hacer también empleando ecuaciones paramétricas, pero eso no cambia
> nada sustancial.

Bueno, algo si que cambia. La integral para el cálculo de la longitud de la
elipse resulta en una integral impropia, lo que la hace muy inadecuada para
un cálculo numérico. En paramétricas,

x = x(t), x' = dx/dt
y = y(t), y' = dy/dt

La longitud entre t0 y t1 sería

L = Int(rq(x'^2 + y'^2), t, t0, t1)

En nuestro caso,

x = a*cos(t), x' = -a*sen(t)
y = b*sen(t), y' = b*cos(t)

L = 4*Int(rq(a^2*sen^2(t) + b^2*cos^2(t)), t, 0, pi/2)

Que naturalmente tampoco se puede expresar como combinación de funciones
elementales, si a =/= b, pero se comporta mejor numéricamente.

Si introduces en la plantilla GeoGebra

http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...asRiemann.html

la función

f(x) = 4*sqrt(25(sin(x))^2 + 14(cos(x))^2)

(con esa sintaxis exactamente)

se obtiene, con 100 intervalos, 28.33025 para la suma inferior y 28.39308
para la superior. El valor real es ~=28.36165855....


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

susy escribió:
> como puedo calcular area y perimetro de una elipse usando integrales

Ya te ha comentado Ignacio, pero solo por hacerlo de otra manera
(equivalente, por supuesto).

Si parametrizamos la elipse como

x = a r cos(t)

y = b r sen(t)

con 0 <= r <= 1 (r=1 para la elipse como curva) y 0 <=t < 2pi,
entonces el diferencial de área se puede calcular como

dS = |dx/dr dy/dt - dx/dt dy/dr| dr dt =

= |abr cos^2(t) + abr sen^2(t)| dr dt =

= abr dr dt

y el área es

S = int dS = ab int_0^2pi int_0^1 r dr dt = pi a b

Para la longitud, hacemos r =1. El diferencial de arco es

dl = rq((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt =

= rq(a^2 sen^2(t) + b^2cos^2(t))dt =

= rq(a^2 - (a^2-b^2)cos^2(t))dt

y el perímetro de la elipse es

L = a int_0^2pi rq(1 - ((a^2-b^2)/a^2)cos^2(t)) dt =

= 4a E(1-b^2/a^2) = 4a E(e^2)

siendo

E(x) = int_0^(pi/2) rq(1-m sen^2(x)) dx

la llamada integral elíptica completa de segunda especie.

La cantidad

e = rq((a^2-b^2)/a^2)

es la llamada excentricidad de la elipse, que vale 0 para una
circunferencia y 1 para el límite en que la elipse se convierte en un
segmento.

Aplicando el desarrollo en serie de la función elíptica

E(e^2) = pi/2 - pi e^2/8 - 3pi e^4/128 + ...

obtenemos una expresión aproximada para el perímetro de la elipse como

L = 2pi a(1 - e^2/4 - 3e^4/24) + ...

en el que vemos que para excentricidad nula se reduce a la fórmula
conocida L = 2pi R, y luego va variando.


--

Antonio

susy escribió:
> como puedo calcular area y perimetro de una elipse usando integrales

Ya te ha comentado Ignacio, pero solo por hacerlo de otra manera
(equivalente, por supuesto).

Si parametrizamos la elipse como

x = a r cos(t)

y = b r sen(t)

con 0 <= r <= 1 (r=1 para la elipse como curva) y 0 <=t < 2pi,
entonces el diferencial de área se puede calcular como

dS = |dx/dr dy/dt - dx/dt dy/dr| dr dt =

= |abr cos^2(t) + abr sen^2(t)| dr dt =

= abr dr dt

y el área es

S = int dS = ab int_0^2pi int_0^1 r dr dt = pi a b

Para la longitud, hacemos r =1. El diferencial de arco es

dl = rq((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt =

= rq(a^2 sen^2(t) + b^2cos^2(t))dt =

= rq(a^2 - (a^2-b^2)cos^2(t))dt

y el perímetro de la elipse es

L = a int_0^2pi rq(1 - ((a^2-b^2)/a^2)cos^2(t)) dt =

= 4a E(1-b^2/a^2) = 4a E(e^2)

siendo

E(x) = int_0^(pi/2) rq(1-m sen^2(x)) dx

la llamada integral elíptica completa de segunda especie.

La cantidad

e = rq((a^2-b^2)/a^2)

es la llamada excentricidad de la elipse, que vale 0 para una
circunferencia y 1 para el límite en que la elipse se convierte en un
segmento.

Aplicando el desarrollo en serie de la función elíptica

E(e^2) = pi/2 - pi e^2/8 - 3pi e^4/128 + ...

obtenemos una expresión aproximada para el perímetro de la elipse como

L = 2pi a(1 - e^2/4 - 3e^4/24) + ...

en el que vemos que para excentricidad nula se reduce a la fórmula
conocida L = 2pi R, y luego va variando.


--

Antonio

susy escribió:
> como puedo calcular area y perimetro de una elipse usando integrales

Ya te ha comentado Ignacio, pero solo por hacerlo de otra manera
(equivalente, por supuesto).

Si parametrizamos la elipse como

x = a r cos(t)

y = b r sen(t)

con 0 <= r <= 1 (r=1 para la elipse como curva) y 0 <=t < 2pi,
entonces el diferencial de área se puede calcular como

dS = |dx/dr dy/dt - dx/dt dy/dr| dr dt =

= |abr cos^2(t) + abr sen^2(t)| dr dt =

= abr dr dt

y el área es

S = int dS = ab int_0^2pi int_0^1 r dr dt = pi a b

Para la longitud, hacemos r =1. El diferencial de arco es

dl = rq((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt =

= rq(a^2 sen^2(t) + b^2cos^2(t))dt =

= rq(a^2 - (a^2-b^2)cos^2(t))dt

y el perímetro de la elipse es

L = a int_0^2pi rq(1 - ((a^2-b^2)/a^2)cos^2(t)) dt =

= 4a E(1-b^2/a^2) = 4a E(e^2)

siendo

E(x) = int_0^(pi/2) rq(1-m sen^2(x)) dx

la llamada integral elíptica completa de segunda especie.

La cantidad

e = rq((a^2-b^2)/a^2)

es la llamada excentricidad de la elipse, que vale 0 para una
circunferencia y 1 para el límite en que la elipse se convierte en un
segmento.

Aplicando el desarrollo en serie de la función elíptica

E(e^2) = pi/2 - pi e^2/8 - 3pi e^4/128 + ...

obtenemos una expresión aproximada para el perímetro de la elipse como

L = 2pi a(1 - e^2/4 - 3e^4/24) + ...

en el que vemos que para excentricidad nula se reduce a la fórmula
conocida L = 2pi R, y luego va variando.


--

Antonio