Hola.

En el conjunto R de los números reales, se considera la topología T
engendrada por la sub-base

S = Tu U { Q (intersección) V | V en Tu }, donde Tu es la topología usual en
R y Q el conjunto de los números racionales.

Estudiar la convergencia en ( R, T ) de la siguiente sucesión: xn = Pi /
n.

Veamos. Un punto p de R es límite de la sucesión xn, si para todo entorno W
de p, existe un número natural m, tal que para todo n >= m, xn está
contenido en U.

Como la sucesión tiene como límite el 0 con la topología usual, 0 es límite
de la sucesión, ya que para cualquier V, en Tu U (Q (intersección) V)
podemos tomar como Tu un intervalo abierto centrado en 0, independientemente
de Q (intersección) V.

Pero, ¿hay algún punto más límite de la sucesión?. Lo pregunto, porque al no
ser Q un intervalo de Tu, T es distinta de Tu.

Muchas gracias.

On 29 dic, 17:07, <Conchi...***gmail.com> wrote:
> Hola.
>
> En el conjunto R de los números reales, se considera la topología T
> engendrada por la sub-base
>
> S = Tu U { Q (intersección) V | V en Tu }, donde Tu es la topología usual en
> R y Q el conjunto de los números racionales.
>
> Estudiar la convergencia en ( R, T ) de la siguiente sucesión: *** *** xn = Pi /
> n.
>
> Veamos. Un punto p de R es límite de la sucesión xn, si para todo entorno W
> de p, existe un número natural m, tal que para todo n >= m, xn está
> contenido en U.
>
> Como la sucesión tiene como límite el 0 con la topología usual, 0 eslímite
> de la sucesión, ya que para cualquier V, en Tu U (Q (intersección) V)
> podemos tomar como Tu un intervalo abierto centrado en 0, independientemente
> de Q (intersección) V.

No, esta sucesión tiene límite 0 en Tu pero no en T. Toma por ejemplo
V = (-1,1) intersección Q, y observa que ningún x_n está en V. De
hecho x_n no tiene ningún límite en T.

En cambio y_n = 1/n tiene límite 0 en ambas topologías.

jhn

On 29 dic, 17:07, <Conchi...***gmail.com> wrote:
> Hola.
>
> En el conjunto R de los números reales, se considera la topología T
> engendrada por la sub-base
>
> S = Tu U { Q (intersección) V | V en Tu }, donde Tu es la topología usual en
> R y Q el conjunto de los números racionales.
>
> Estudiar la convergencia en ( R, T ) de la siguiente sucesión: *** *** xn = Pi /
> n.
>
> Veamos. Un punto p de R es límite de la sucesión xn, si para todo entorno W
> de p, existe un número natural m, tal que para todo n >= m, xn está
> contenido en U.
>
> Como la sucesión tiene como límite el 0 con la topología usual, 0 eslímite
> de la sucesión, ya que para cualquier V, en Tu U (Q (intersección) V)
> podemos tomar como Tu un intervalo abierto centrado en 0, independientemente
> de Q (intersección) V.

No, esta sucesión tiene límite 0 en Tu pero no en T. Toma por ejemplo
V = (-1,1) intersección Q, y observa que ningún x_n está en V. De
hecho x_n no tiene ningún límite en T.

En cambio y_n = 1/n tiene límite 0 en ambas topologías.

jhn

On 29 dic, 17:07, <Conchi...***gmail.com> wrote:
> Hola.
>
> En el conjunto R de los números reales, se considera la topología T
> engendrada por la sub-base
>
> S = Tu U { Q (intersección) V | V en Tu }, donde Tu es la topología usual en
> R y Q el conjunto de los números racionales.
>
> Estudiar la convergencia en ( R, T ) de la siguiente sucesión: *** *** xn = Pi /
> n.
>
> Veamos. Un punto p de R es límite de la sucesión xn, si para todo entorno W
> de p, existe un número natural m, tal que para todo n >= m, xn está
> contenido en U.
>
> Como la sucesión tiene como límite el 0 con la topología usual, 0 eslímite
> de la sucesión, ya que para cualquier V, en Tu U (Q (intersección) V)
> podemos tomar como Tu un intervalo abierto centrado en 0, independientemente
> de Q (intersección) V.

No, esta sucesión tiene límite 0 en Tu pero no en T. Toma por ejemplo
V = (-1,1) intersección Q, y observa que ningún x_n está en V. De
hecho x_n no tiene ningún límite en T.

En cambio y_n = 1/n tiene límite 0 en ambas topologías.

jhn