En un paralelogramo ABCD existen puntos X e Y en AB y DA
respectivamente tales que los triángulos AXY,XBC y CDY tienen
superficie 1 los tres.Averiguar la superficie del triángulo CXY.

Saludos.

On 11 ene, 18:52, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> En un paralelogramo ABCD existen puntos X e Y en AB y DA
> respectivamente tales que los triángulos AXY,XBC y CDY tienen
> superficie 1 los tres.Averiguar la superficie del triángulo CXY.
>
> Saludos.

Estoy pensando que alguien puede haberse liado con el enunciado.Cada
uno de los tres triángulos tiene área 1,espero que no se haya
entendido que es entre los tres.

Saludos.

On 11 ene, 18:52, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> En un paralelogramo ABCD existen puntos X e Y en AB y DA
> respectivamente tales que los triángulos AXY,XBC y CDY tienen
> superficie 1 los tres.Averiguar la superficie del triángulo CXY.
>
> Saludos.

Parece que no ha gustado este.

Llamemos a = AB b = BC y el área de vértices PQR lo denominaré como
[PQR].

Puesto que [XBC] = 1 tendremos que XB·BC·sen(180º - A) = XB·b·senA = 2
y por tanto:

XB = 2/b·senA

Por idéntica razón para [CDY] tendremos DY = 2/a·senA

Teniendo en cuenta ahora que [AXY] = 1

(a - 2/b·senA)(b - 2/a·senA)·senA = 2

(absenA - 2)^2 = 2absenA

desarrollando:

(absenA)^2 - 6absenA + 4 = 0

Ahora bien,absenA es precisamente el área del paralelogramo ABCD.
La anterior ecuación tiene por soluciones absenA = 3 + rq(5) ó absenA
= 3 - rq(5)

Puesto que es claro que [ABCD] > 3 tenemos que [ABCD] = absenA = 3 +
rq(5)
con lo cual el área del triángulo CXY es rq(5).

Saludos.

Javier Esquinas wrote:
> On 11 ene, 18:52, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
>> En un paralelogramo ABCD existen puntos X e Y en AB y DA
>> respectivamente tales que los triángulos AXY,XBC y CDY tienen
>> superficie 1 los tres.Averiguar la superficie del triángulo CXY.
>>
>> Saludos.
>
> Parece que no ha gustado este.
>
> Llamemos a = AB b = BC y el área de vértices PQR lo denominaré como
> [PQR].
>
> Puesto que [XBC] = 1 tendremos que XB·BC·sen(180º - A) = XB·b·senA = 2
> y por tanto:
>
> XB = 2/b·senA
>
> Por idéntica razón para [CDY] tendremos DY = 2/a·senA
>
> Teniendo en cuenta ahora que [AXY] = 1
>
> (a - 2/b·senA)(b - 2/a·senA)·senA = 2
>
> (absenA - 2)^2 = 2absenA
>
> desarrollando:
>
> (absenA)^2 - 6absenA + 4 = 0
>
> Ahora bien,absenA es precisamente el área del paralelogramo ABCD.
> La anterior ecuación tiene por soluciones absenA = 3 + rq(5) ó absenA
> = 3 - rq(5)
>
> Puesto que es claro que [ABCD] > 3 tenemos que [ABCD] = absenA = 3 +
> rq(5)
> con lo cual el área del triángulo CXY es rq(5).

Te precipitaste un poco. Lo venia pensando en el avión y lo iba a mandar
ahora ya desde casa. Pero bueno, de todas formas, ahí va mi solución.

Como se trata de un problema de cociente de áreas, es invariante bajo
transformaciones afines, por lo que podemos suponer que el paralelogramo es
un rectángulo e incluso un cuadrado de lado x. En este último caso toda la
figura es simétrica respecto a la diagonal AC, y el triángulo AXY resulta
ser equilátero e isósceles. Como su área es 1, sus catetos valen AX = AY =
rq(2).

Si llamamos x al lado del cuadrado, debe ser

x(x - rq(2))/2 = 1 ===> x^2 - rq(2)x - 2 = 0 ===>

x = (rq(2) +/- rq(2 + 8))/2

Solo nos vale la solución x = (rq(2) + rq(10))/2, con lo que el área es

x^2 = (2 + 10 + 4rq(5))/4 = 3 + rq(5)

Descontando las áreas de los tres triángulos iguales a 1, nos queda
entonces,

(CXY) = rq(5)


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Javier Esquinas wrote:
>> On 11 ene, 18:52, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
>>> En un paralelogramo ABCD existen puntos X e Y en AB y DA
>>> respectivamente tales que los triángulos AXY,XBC y CDY tienen
>>> superficie 1 los tres.Averiguar la superficie del triángulo CXY.
>
> Te precipitaste un poco. Lo venia pensando en el avión y lo iba a mandar
> ahora ya desde casa. Pero bueno, de todas formas, ahí va mi solución.
>
> Como se trata de un problema de cociente de áreas, es invariante bajo
> transformaciones afines, por lo que podemos suponer que el paralelogramo es
> un rectángulo e incluso un cuadrado de lado x. En este último caso toda la
> figura es simétrica respecto a la diagonal AC, y el triángulo AXY resulta
> ser equilátero e isósceles. Como su área es 1, sus catetos valen AX = AY =
> rq(2).
>
> Si llamamos x al lado del cuadrado, debe ser
>
> x(x - rq(2))/2 = 1 ===> x^2 - rq(2)x - 2 = 0 ===>
>
> x = (rq(2) +/- rq(2 + 8))/2
>
> Solo nos vale la solución x = (rq(2) + rq(10))/2, con lo que el área es
>
> x^2 = (2 + 10 + 4rq(5))/4 = 3 + rq(5)
>
> Descontando las áreas de los tres triángulos iguales a 1, nos queda
> entonces,
>
> (CXY) = rq(5)
>

Otra forma de hacer lo mismo sin transformaciones afines es emplear vectores

Sean AB y AD los vectores que definen el paralelogramo su área es

St = AB x AD

Sean

AX = u AB

AY = v AD

Entonces las áreas de los tres triángulos unidad son

1 = (u AB) x (v AD)/2 = (uv/2) St

1 = BC x BX/2 = AD x (u-1) AB/2 = (1-u)St/2

1 = DY x DC/2 = (v-1)AD x AB/2 = (1-v)st/2

lo que nos da el sistema

1 = uv St/2

1 = (1-u)St/2

1 = (1-v)St/2

y de aquí

u = v

u^2 = 1 - u -> u = (-1 + rq(5))/2

St = 2/u^2 = 2/(1-u) = 4/(3 - rq(5)) =

= 3 + rq(5)

y la del triángulo restante

S = 3 + rq(59 -1 - 1 - 1 = rq(5)



--

Antonio

>
> Te precipitaste un poco. Lo venia pensando en el avión y lo iba a mandar
> ahora ya desde casa. Pero bueno, de todas formas, ahí va mi solución.
>
> Como se trata de un problema de cociente de áreas, es invariante bajo
> transformaciones afines, por lo que podemos suponer que el paralelogramo
> es un rectángulo e incluso un cuadrado de lado x. En este último caso toda
> la figura es simétrica respecto a la diagonal AC, y el triángulo AXY
> resulta ser equilátero e isósceles. Como su área es 1, sus catetos valen
> AX = AY = rq(2).

Aquí no me queda claro porqué tiene que ser AXY equilátero o isósceles,
puesto
que en el lado del cuadrado puedes elegir el punto X y el punto Y donde
quieras.
Así que no necesariamente sería AX = AY, ¿ no ?

Ya sé que debe serlo, porque tu resultado es correcto, pero no lo entiendo
bien.

Saludos,




> Si llamamos x al lado del cuadrado, debe ser
>
> x(x - rq(2))/2 = 1 ===> x^2 - rq(2)x - 2 = 0 ===>
>
> x = (rq(2) +/- rq(2 + 8))/2
>
> Solo nos vale la solución x = (rq(2) + rq(10))/2, con lo que el área es
>
> x^2 = (2 + 10 + 4rq(5))/4 = 3 + rq(5)
>
> Descontando las áreas de los tres triángulos iguales a 1, nos queda
> entonces,
>
> (CXY) = rq(5)
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
>

Luis wrote:
>> Te precipitaste un poco. Lo venia pensando en el avión y lo iba a
>> mandar ahora ya desde casa. Pero bueno, de todas formas, ahí va mi
>> solución. Como se trata de un problema de cociente de áreas, es
>> invariante bajo
>> transformaciones afines, por lo que podemos suponer que el
>> paralelogramo es un rectángulo e incluso un cuadrado de lado x. En
>> este último caso toda la figura es simétrica respecto a la diagonal
>> AC, y el triángulo AXY resulta ser equilátero e isósceles. Como su
>> área es 1, sus catetos valen AX = AY = rq(2).
>
> Aquí no me queda claro porqué tiene que ser AXY equilátero o
> isósceles, puesto
> que en el lado del cuadrado puedes elegir el punto X y el punto Y
> donde quieras.
> Así que no necesariamente sería AX = AY, ¿ no ?
>
> Ya sé que debe serlo, porque tu resultado es correcto, pero no lo
> entiendo bien.
>
> Saludos,
>

Si llevamos el paralelogramo a un cuadrado mediante transformaciones afines,
tienes que los triángulos XBC e YDC son iguales, puesto que son rectángulos,
con la misma área y un cateto igual al lado del cuadrado. Por tanto, el otro
cateto también es igual, y el triángulo AXY resulta rectángulo (que no
equilátero, gazapo mio ...) e iusósceles.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:5v8e0vF1kt8utU1***mid.individual.net...
> Luis wrote:
>>> Te precipitaste un poco. Lo venia pensando en el avión y lo iba a
>>> mandar ahora ya desde casa. Pero bueno, de todas formas, ahí va mi
>>> solución. Como se trata de un problema de cociente de áreas, es
>>> invariante bajo
>>> transformaciones afines, por lo que podemos suponer que el
>>> paralelogramo es un rectángulo e incluso un cuadrado de lado x. En
>>> este último caso toda la figura es simétrica respecto a la diagonal
>>> AC, y el triángulo AXY resulta ser equilátero e isósceles. Como su
>>> área es 1, sus catetos valen AX = AY = rq(2).
>>
>> Aquí no me queda claro porqué tiene que ser AXY equilátero o
>> isósceles, puesto
>> que en el lado del cuadrado puedes elegir el punto X y el punto Y
>> donde quieras.
>> Así que no necesariamente sería AX = AY, ¿ no ?
>>
>> Ya sé que debe serlo, porque tu resultado es correcto, pero no lo
>> entiendo bien.
>>
>> Saludos,
>>
>
> Si llevamos el paralelogramo a un cuadrado mediante transformaciones
> afines, tienes que los triángulos XBC e YDC son iguales, puesto que son
> rectángulos, con la misma área y un cateto igual al lado del cuadrado. Por
> tanto, el otro cateto también es igual, y el triángulo AXY resulta
> rectángulo (que no equilátero, gazapo mio ...) e iusósceles.
>
>
Sí, ahora lo veo mucho más claro.
Las transformaciones afines a las que te refieres para convertir el
paralelogramo
en cuadrado, serían homotecias, giros, inversiones y cosas así, ¿ no ?

Saludos,