(i) Un cuadrilátero inscrito en el círculo lo divide en cuatro
arcos.Seleccionamos un punto en cada arco y les denominamos A,B,C y
D.Unimos cada vértice al contiguo del cuadrilátero.Para el polígono
así formado determinar la suma de los ángulos en A,B,C y D.

(ii) Calcular todos los valores x en grados tales que 0º < x < 10º y:

sen(41x) = sen(31x) + cos(31x) + cos(41x)

Saludos.

Javier Esquinas wrote:
> (i) Un cuadrilátero inscrito en el círculo lo divide en cuatro
> arcos.Seleccionamos un punto en cada arco y les denominamos A,B,C y
> D.Unimos cada vértice al contiguo del cuadrilátero.Para el polígono
> así formado determinar la suma de los ángulos en A,B,C y D.

En un octógono, la suma de los ángulos internos es (8 - 2)*180º = 1080º. Por
tanto, eun un octófono regular, la suma de cuatro de los ángulos alternados
es 540º. Sean los vértices en orden A, A', B, B', C, C', D y D'. Si a partir
de aquí movemos cuatro de ellos alternados, A, B, C y D por ejemplo, sin
sobrepasar a los otros, el valor de ellos no cambia, por ser inscritos en la
circunferencia y abarcar el mismo arco. Si que cambian los ángulos en A',
B', C' y D', pero no su suma. Si dejamos ahora fijos A, B, C y D, y movemos
los otros vértices, los ángulos A', B', C' y D' no cambian y su suma por
tanto, tampoco. Por tanto, aunque cambien los ángulos en A, B, C y D, su
suma sigue siendo 1080º - 540º = 540º, en cualquier octógono inscrito.


Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:
> (ii) Calcular todos los valores x en grados tales que 0º < x < 10º y:
>
> sen(41x) = sen(31x) + cos(31x) + cos(41x)
>

sen(41x) - sen(31x) = cos(31x) + cos(41x)

2sen(36x)cos(5x) = 2cos(36x)sen(5x)

cos(36x) = 0 ===> x= 2.5º, 7.5º, 12.5º, ...

Entre 0º y 10º, solo 2.5º y 7.5º. Dividiendo entonces por 2cos(36x),

cos(5x) = sen(5x) ===>

5x = 45º + k*360º ===> x = 9º + k*72º, k = 0, 1, ..., 4

ó

5x = 225º + k*360º ===> x = 45º + k*72º, k = 0, 1, ..., 4

Entro 0, y 10º solo nos queda entonces, 2.5º, 7.5º y 9º.


Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> Javier Esquinas wrote:
>> (ii) Calcular todos los valores x en grados tales que 0º < x < 10º y:
>>
>> sen(41x) = sen(31x) + cos(31x) + cos(41x)
>>
>
> sen(41x) - sen(31x) = cos(31x) + cos(41x)
>
> 2sen(36x)cos(5x) = 2cos(36x)sen(5x)

Ahí debe poner evidentemente

2cos(36x)sen(5x) = 2cos(36x)cos(5x)


> cos(36x) = 0 ===> x= 2.5º, 7.5º, 12.5º, ...
>
> Entre 0º y 10º, solo 2.5º y 7.5º. Dividiendo entonces por 2cos(36x),
>
> cos(5x) = sen(5x) ===>
>
> 5x = 45º + k*360º ===> x = 9º + k*72º, k = 0, 1, ..., 4
>
> ó
>
> 5x = 225º + k*360º ===> x = 45º + k*72º, k = 0, 1, ..., 4
>
> Entro 0, y 10º solo nos queda entonces, 2.5º, 7.5º y 9º.
>
>
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:5v8nm2F1ll4r1U1***mid.individual.net...
> Javier Esquinas wrote:
>> (i) Un cuadrilátero inscrito en el círculo lo divide en cuatro
>> arcos.Seleccionamos un punto en cada arco y les denominamos A,B,C y
>> D.Unimos cada vértice al contiguo del cuadrilátero.Para el polígono
>> así formado determinar la suma de los ángulos en A,B,C y D.
>
> En un octógono, la suma de los ángulos internos es (8 - 2)*180º = 1080º.
> Por tanto, eun un octófono regular, la suma de cuatro de los ángulos
> alternados es 540º. Sean los vértices en orden A, A', B, B', C, C', D y
> D'. Si a partir de aquí movemos cuatro de ellos alternados, A, B, C y D
> por ejemplo, sin sobrepasar a los otros, el valor de ellos no cambia, por
> ser inscritos en la circunferencia y abarcar el mismo arco. Si que cambian
> los ángulos en A', B', C' y D', pero no su suma. Si dejamos ahora fijos A,
> B, C y D, y movemos los otros vértices, los ángulos A', B', C' y D' no
> cambian y su suma por tanto, tampoco. Por tanto, aunque cambien los
> ángulos en A, B, C y D, su suma sigue siendo 1080º - 540º = 540º, en
> cualquier octógono inscrito.
>

Aquí hay algo que no entiendo bien, Ignacio.

Sea S = A + B + C + D y S' = A + B + C + D'.
Evidentemente, si partiésemos de un octógono regular, S = 540 y S' = 540.
Como tú escribes, tanto si variamos los puntos A,B,C, D como si variamos los
puntos A', B', C' y D' ( sobre sus respectivos arcos ), S = S' = 540.

Pero lo que no entiendo bien es por qué la suma también permanece invariante
si el octógno de partida no es regular ( como sucede en el caso que nos
ocupa ).
En este caso, podemos afirmar que S + S' = 1080 , pero S no tiene por qué
ser igual a S'.

Por esto no entiendo tu remate final de que S = 1080º - 540º = 540º en
cualquier octógono inscrito.

Saludos,

Luis wrote:
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com>
> escribió en el mensaje news:5v8nm2F1ll4r1U1***mid.individual.net...
>> Javier Esquinas wrote:
>>> (i) Un cuadrilátero inscrito en el círculo lo divide en cuatro
>>> arcos.Seleccionamos un punto en cada arco y les denominamos A,B,C y
>>> D.Unimos cada vértice al contiguo del cuadrilátero.Para el polígono
>>> así formado determinar la suma de los ángulos en A,B,C y D.
>>
>> En un octógono, la suma de los ángulos internos es (8 - 2)*180º =
>> 1080º. Por tanto, eun un octófono regular, la suma de cuatro de los
>> ángulos alternados es 540º. Sean los vértices en orden A, A', B, B',
>> C, C', D y D'. Si a partir de aquí movemos cuatro de ellos alternados, A,
>> B, C y D por ejemplo, sin sobrepasar a los otros, el
>> valor de ellos no cambia, por ser inscritos en la circunferencia y
>> abarcar el mismo arco. Si que cambian los ángulos en A', B', C' y
>> D', pero no su suma. Si dejamos ahora fijos A, B, C y D, y movemos
>> los otros vértices, los ángulos A', B', C' y D' no cambian y su suma
>> por tanto, tampoco. Por tanto, aunque cambien los ángulos en A, B, C
>> y D, su suma sigue siendo 1080º - 540º = 540º, en cualquier octógono
>> inscrito.
>
> Aquí hay algo que no entiendo bien, Ignacio.
>
> Sea S = A + B + C + D y S' = A + B + C + D'.
> Evidentemente, si partiésemos de un octógono regular, S = 540 y S'
> = 540. Como tú escribes, tanto si variamos los puntos A,B,C, D como
> si variamos los puntos A', B', C' y D' ( sobre sus respectivos arcos
> ), S = S' = 540.
> Pero lo que no entiendo bien es por qué la suma también permanece
> invariante si el octógno de partida no es regular ( como sucede en el
> caso que nos ocupa ).
> En este caso, podemos afirmar que S + S' = 1080 , pero S no tiene
> por qué ser igual a S'.
>
> Por esto no entiendo tu remate final de que S = 1080º - 540º = 540º en
> cualquier octógono inscrito.
>
Es que el proceso es el contrario. Se trata de partir del octógono regular y
a partir de él cambiar los vértices A, B, C y D, con lo que S y S'
permanecen constantes, y luego los A', B', C' y D', con lo que S' y S
permanecen constantes, y seguir así hasta alcanzar el octógono inscrito
dado, cualquiera que sea este. Queda detellar por completo el proceso de
pasar del ctógono regular a otro inscrito cualquiera, pero no creo que sea
difícil.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:5vh301F1lmu6aU1***mid.individual.net...
> Luis wrote:
>> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com>
>> escribió en el mensaje news:5v8nm2F1ll4r1U1***mid.individual.net...
>>> Javier Esquinas wrote:
>>>> (i) Un cuadrilátero inscrito en el círculo lo divide en cuatro
>>>> arcos.Seleccionamos un punto en cada arco y les denominamos A,B,C y
>>>> D.Unimos cada vértice al contiguo del cuadrilátero.Para el polígono
>>>> así formado determinar la suma de los ángulos en A,B,C y D.
>>>
>>> En un octógono, la suma de los ángulos internos es (8 - 2)*180º =
>>> 1080º. Por tanto, eun un octófono regular, la suma de cuatro de los
>>> ángulos alternados es 540º. Sean los vértices en orden A, A', B, B',
>>> C, C', D y D'. Si a partir de aquí movemos cuatro de ellos alternados,
>>> A, B, C y D por ejemplo, sin sobrepasar a los otros, el
>>> valor de ellos no cambia, por ser inscritos en la circunferencia y
>>> abarcar el mismo arco. Si que cambian los ángulos en A', B', C' y
>>> D', pero no su suma. Si dejamos ahora fijos A, B, C y D, y movemos
>>> los otros vértices, los ángulos A', B', C' y D' no cambian y su suma
>>> por tanto, tampoco. Por tanto, aunque cambien los ángulos en A, B, C
>>> y D, su suma sigue siendo 1080º - 540º = 540º, en cualquier octógono
>>> inscrito.
>>
>> Aquí hay algo que no entiendo bien, Ignacio.
>>
>> Sea S = A + B + C + D y S' = A + B + C + D'.
>> Evidentemente, si partiésemos de un octógono regular, S = 540 y S'
>> = 540. Como tú escribes, tanto si variamos los puntos A,B,C, D como
>> si variamos los puntos A', B', C' y D' ( sobre sus respectivos arcos
>> ), S = S' = 540.
>> Pero lo que no entiendo bien es por qué la suma también permanece
>> invariante si el octógno de partida no es regular ( como sucede en el
>> caso que nos ocupa ).
>> En este caso, podemos afirmar que S + S' = 1080 , pero S no tiene
>> por qué ser igual a S'.
>>
>> Por esto no entiendo tu remate final de que S = 1080º - 540º = 540º en
>> cualquier octógono inscrito.
>>
> Es que el proceso es el contrario. Se trata de partir del octógono regular
> y a partir de él cambiar los vértices A, B, C y D, con lo que S y S'
> permanecen constantes, y luego los A', B', C' y D', con lo que S' y S
> permanecen constantes, y seguir así hasta alcanzar el octógono inscrito
> dado, cualquiera que sea este. Queda detellar por completo el proceso de
> pasar del ctógono regular a otro inscrito cualquiera, pero no creo que sea
> difícil.
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

De acuerdo, entendida la idea. Muchas gracias y un saludo.

On 20 ene, 15:22, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> escribió
> en el mensajenews:5vh301F1lmu6aU1***mid.individual.net...
>
>
>
>
>
> > Luis wrote:
> >> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com>
> >> escribió en el mensajenews:5v8nm2F1ll4r1U1***mid.individual.net...
> >>> Javier Esquinas wrote:
> >>>> (i) Un cuadrilátero inscrito en el círculo lo divide en cuatro
> >>>> arcos.Seleccionamos un punto en cada arco y les denominamos A,B,C y
> >>>> D.Unimos cada vértice al contiguo del cuadrilátero.Para el polígono
> >>>> así formado determinar la suma de los ángulos en A,B,C y D.
>
> >>> En un octógono, la suma de los ángulos internos es (8 - 2)*180º =
> >>> 1080º. Por tanto, eun un octófono regular, la suma de cuatro de los
> >>> ángulos alternados es 540º. Sean los vértices en orden A, A', B,B',
> >>> C, C', D y D'. Si a partir de aquí movemos cuatro de ellos alternados,
> >>> A, B, C y D por ejemplo, sin sobrepasar a los otros, el
> >>> valor de ellos no cambia, por ser inscritos en la circunferencia y
> >>> abarcar el mismo arco. Si que cambian los ángulos en A', B', C' y
> >>> D', pero no su suma. Si dejamos ahora fijos A, B, C y D, y movemos
> >>> los otros vértices, los ángulos A', B', C' y D' no cambian y su suma
> >>> por tanto, tampoco. Por tanto, aunque cambien los ángulos en A, B, C
> >>> y D, su suma sigue siendo 1080º - 540º = 540º, en cualquier octógono
> >>> inscrito.
>
> >> Aquí hay algo que no entiendo bien, Ignacio.
>
> >> Sea S = ***A + B + C + D ***y ***S' = A + B + C + D'.
> >> Evidentemente, si partiésemos de un octógono regular, S = 540 ***y ***S'
> >> = 540. Como tú escribes, tanto si variamos los puntos A,B,C, D como
> >> si variamos los puntos A', B', C' y D' ***( sobre sus respectivos arcos
> >> ), S = S' = 540.
> >> Pero lo que no entiendo bien es por qué la suma también permanece
> >> invariante si el octógno de partida no es regular ( como sucede en el
> >> caso que nos ocupa ).
> >> En este caso, podemos afirmar que S + S' = 1080 , pero ***S ***no tiene
> >> por qué ser igual a S'.
>
> >> Por esto no entiendo tu remate final de que S = 1080º - 540º = 540º en
> >> cualquier octógono inscrito.
>
> > Es que el proceso es el contrario. Se trata de partir del octógono regular
> > y a partir de él cambiar los vértices A, B, C y D, con lo que S y S'
> > permanecen constantes, y luego los A', B', C' y D', con lo que S' y S
> > permanecen constantes, y seguir así hasta alcanzar el octógono inscrito
> > dado, cualquiera que sea este. Queda detellar por completo el proceso de
> > pasar del ctógono regular a otro inscrito cualquiera, pero no creo quesea
> > difícil.
>
> > --
> > Saludos,
>
> > Ignacio Larrosa Cañestro
> > A Coruña (España)
> > ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
> De acuerdo, entendida la idea. Muchas gracias y un saludo.- Ocultar texto de la cita -
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Si divides el octógono cíclico en dos cuadriláteros y un triángulo es
inmediata la demostración.

Saludos.

Si divides el octógono cíclico en dos cuadriláteros y un triángulo es
inmediata la demostración.

Saludos.


¿ Cómo es esa demostración, Javier ?
Si puedes, inserta un dibujo o explica cómo hacerlo.

Un saludo,

On 21 ene, 14:15, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> Si divides el octógono cíclico en dos cuadriláteros y un triánguloes
> inmediata la demostración.
>
> Saludos.
>
> ¿ Cómo es esa demostración, Javier ?
> Si puedes, inserta un dibujo o explica cómo hacerlo.
>
> Un saludo,

Perdona,que te he engañado.Tres cuadriláteros.Recuerda que ángulos
opuestos de un cuadrilátero cíclico suman 180º.

Saludos.