Hallar todas las funciones f:R=>R tales que f(2007)=2008 y para cada
par de reales (x,y) reales se verifique f(4xy)=2y(f(x+y)+f(x-y))

Saludos
León-Sotelo

León-Sotelo wrote:
> Hallar todas las funciones f:R=>R tales que f(2007)=2008 y para cada
> par de reales (x,y) reales se verifique f(4xy)=2y(f(x+y)+f(x-y))

Cambiando y con -y, vemos que f es impar. y en particular f(0) = 0. Por otra
parte, su comportamiento parece lineal.

Sin tener en cuenta el valor particular f(2007) = 2008, una solución es f(x)
= ax.

Tomando a = 2008/2007, ya tenemos una solución: f(x) = 2008x/2007.

Si f ha de ser derivable, esta es la única solución. En efecto, derivando
respecto de y,

4x*f'(4xy) = - 2(y*f'(x - y) - y*f'(x + y) - f(x - y) - f(x + y))

Haciendo y = 0,

4xf'(0) = 4f(x) ===> f(x)/x = f'(0) = cte ==> f(x) = ax

Queda por ver si hay otras soluciones no derivables.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

On 19 ene, 07:53, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> León-Sotelo wrote:
> > Hallar todas las funciones f:R=>R tales que f(2007)=2008 y para cada
> > par de reales (x,y) reales se verifique f(4xy)=2y(f(x+y)+f(x-y))
>
> Cambiando y con -y, vemos que f es impar. y en particular f(0) = 0. Por otra
> parte, su comportamiento parece lineal.
>
> Sin tener en cuenta el valor particular f(2007) = 2008, una solución es f(x)
> = ax.
>
> Tomando a = 2008/2007, ya tenemos una solución: f(x) = 2008x/2007.
>
> Si f ha de ser derivable, esta es la única solución. En efecto, derivando
> respecto de y,
>
> 4x*f'(4xy) = - 2(y*f'(x - y) - y*f'(x + y) - f(x - y) - f(x + y))
>
> Haciendo y = 0,
>
> 4xf'(0) = 4f(x) ***===> ***f(x)/x = f'(0) = cte ***==> f(x) = ax
>
> Queda por ver si hay otras soluciones no derivables.
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com

Como f debe ser impar, intercambiando x e y se tiene

f(4yx)=2x(f(y+x)+f(y-x)) = 2x(f(x+y)-f(x-y)),

por lo tanto

2y(f(x+y)+f(x-y)) = f(4xy) = 2x(f(x+y)-f(x-y)),

(x+y)f(x-y) = (x-y)f(x+y),

poniendo ahora x=(t+1)/2, y = (t-1)/2, queda

tf(1) = f(t),

es decir que la solución general de la ecuación funcional es f(x) =
ax, y la particular buscada es
f(x) = (2008/2007)x.

jhn

No entiendo bien cómo deducís que f es impar.
Una función es impar si f(x) = -f(-x).
En este caso, escribiendo 4xy = t , habría que ver que f(t) = -f(-t).
Entonces :

f(-t) = f(-4xy) = f(4(-x)y) = 2y(f(-x+y)+f(-x-y)) <> -f(4xy) = -f(t)

Sin embargo :

f(-t) = f(-4xy) = f(4x(-y)) = 2(-y)(f(x-y)+f(x+y)) = -f(4xy) = -f(t)

Así que si cambiamos x por -x no se cumple la condición, pero
si cambiamos y por -y sí se cumple.
¿ Esto basta para demostrar que la función es impar ?

Saludos,





"Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com> escribió
en el mensaje news:5ve6mnF1leds7U1***mid.individual.net...
> León-Sotelo wrote:
>> Hallar todas las funciones f:R=>R tales que f(2007)=2008 y para cada
>> par de reales (x,y) reales se verifique f(4xy)=2y(f(x+y)+f(x-y))
>
> Cambiando y con -y, vemos que f es impar. y en particular f(0) = 0. Por
> otra
> parte, su comportamiento parece lineal.
>
> Sin tener en cuenta el valor particular f(2007) = 2008, una solución es
> f(x) = ax.
>
> Tomando a = 2008/2007, ya tenemos una solución: f(x) = 2008x/2007.
>
> Si f ha de ser derivable, esta es la única solución. En efecto, derivando
> respecto de y,
>
> 4x*f'(4xy) = - 2(y*f'(x - y) - y*f'(x + y) - f(x - y) - f(x + y))
>
> Haciendo y = 0,
>
> 4xf'(0) = 4f(x) ===> f(x)/x = f'(0) = cte ==> f(x) = ax
>
> Queda por ver si hay otras soluciones no derivables.
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
>
>
>

On 21 ene, 09:42, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> No entiendo bien cómo deducís que f es impar.
> Una función es impar si f(x) = -f(-x).
> En este caso, escribiendo 4xy = t , habría que ver que f(t) = -f(-t)..
> Entonces :
>
> ***f(-t) = f(-4xy) ***= f(4(-x)y) = 2y(f(-x+y)+f(-x-y)) <> -f(4xy) = -f(t)
>
> Sin embargo :
>
> f(-t) = f(-4xy) = f(4x(-y)) = 2(-y)(f(x-y)+f(x+y)) = -f(4xy) = -f(t)
>
> Así que si cambiamos x por -x ***no se cumple la condición,

No es que no se cumpla, sino que no logras probar que se cumple.


> pero
> si cambiamos y por -y ***sí se cumple.
> ¿ Esto basta para demostrar que la función es impar ?
>

Sí. Otra forma de hacerlo es así:
f(-x) = f(4x(-1/4)) = 2(-1/4)(f(x - 1/4) + f(x + 1/4))
= -2(1/4)(f(x + 1/4) + f(x - 1/4))
= -f(4x(1/4)) = -f(x)

jhn



> Saludos,
>
> "Ignacio Larrosa Cañestro" <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> escribió
> en el mensajenews:5ve6mnF1leds7U1***mid.individual.net...
>
>
>
> > León-Sotelo wrote:
> >> Hallar todas las funciones f:R=>R tales que f(2007)=2008 y para cada
> >> par de reales (x,y) reales se verifique f(4xy)=2y(f(x+y)+f(x-y))
>
> > Cambiando y con -y, vemos que f es impar. y en particular f(0) = 0. Por
> > otra
> > parte, su comportamiento parece lineal.
>
> > Sin tener en cuenta el valor particular f(2007) = 2008, una soluciónes
> > f(x) = ax.
>
> > Tomando a = 2008/2007, ya tenemos una solución: f(x) = 2008x/2007.
>
> > Si f ha de ser derivable, esta es la única solución. En efecto, derivando
> > respecto de y,
>
> > 4x*f'(4xy) = - 2(y*f'(x - y) - y*f'(x + y) - f(x - y) - f(x + y))
>
> > Haciendo y = 0,
>
> > 4xf'(0) = 4f(x) ***===> ***f(x)/x = f'(0) = cte ***==> f(x) = ax
>
> > Queda por ver si hay otras soluciones no derivables.
>
> > --
> > Saludos,
>
> > Ignacio Larrosa Cañestro
> > A Coruña (España)
> > ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com- Ocultar texto de la cita -
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<jhnieto***gmail.com> escribió en el mensaje
news:319c704d-4239-49f8-a00d-65a2498bac01***e25g2000prg.googlegroups.com...
On 21 ene, 09:42, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> No entiendo bien cómo deducís que f es impar.
> Una función es impar si f(x) = -f(-x).
> En este caso, escribiendo 4xy = t , habría que ver que f(t) = -f(-t).
> Entonces :
>
> f(-t) = f(-4xy) = f(4(-x)y) = 2y(f(-x+y)+f(-x-y)) <> -f(4xy) = -f(t)
>
> Sin embargo :
>
> f(-t) = f(-4xy) = f(4x(-y)) = 2(-y)(f(x-y)+f(x+y)) = -f(4xy) = -f(t)
>
> Así que si cambiamos x por -x no se cumple la condición,

No es que no se cumpla, sino que no logras probar que se cumple.


> pero
> si cambiamos y por -y sí se cumple.
> ¿ Esto basta para demostrar que la función es impar ?
>

Sí. Otra forma de hacerlo es así:
f(-x) = f(4x(-1/4)) = 2(-1/4)(f(x - 1/4) + f(x + 1/4))
= -2(1/4)(f(x + 1/4) + f(x - 1/4))
= -f(4x(1/4)) = -f(x)

jhn

Sí señor, muy hábil. Me ha convencido completamente.
Un saludo.

Luis wrote:
> No entiendo bien cómo deducís que f es impar.
> Una función es impar si f(x) = -f(-x).
> En este caso, escribiendo 4xy = t , habría que ver que f(t) = -f(-t).
> Entonces :
>
> f(-t) = f(-4xy) = f(4(-x)y) = 2y(f(-x+y)+f(-x-y)) <> -f(4xy) = -f(t)
>
> Sin embargo :
>
> f(-t) = f(-4xy) = f(4x(-y)) = 2(-y)(f(x-y)+f(x+y)) = -f(4xy) = -f(t)
>
> Así que si cambiamos x por -x no se cumple la condición, pero
> si cambiamos y por -y sí se cumple.
> ¿ Esto basta para demostrar que la función es impar ?

Es que la función lo es de una sola variable.. Al cambiar y por -y cambia de
signo el argumento del lado izquierdo, y la totalidad de la expresión del
lado derecho, pues f(x + y) se transforma en f(x - y) y viceversa, mientras
que la y cambia de signo. Y esto es todo lo que se necesita, como tu mismo
indicas, para que la función sea impar.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com