Supongamos la siguiente construcción en el plano:

Para empezar trazamos un segmento horizontal de longitud 1, con centro
en (0,0).

Trazamos ahora otros dos segmentos verticales, también de longitud 1,
centrados en cada uno de los extremos del segmento anterior.

Centrados en cada una de los cuatro extremos de los dos anteriores
trazamos dos segmentos horizontales de longitud 1/2.

Trazamos ahora ocho segmentos verticales de longitud 1/2 centrados en
los extremos de los cuatro anteriores.

Continuamos el proceso indefinidamente, siguiendo una secuencia
1,1,1/2,1/2,1/4,1/4,...

Contando solamente los extremos de las ramas como puntos,

¿Podemos alcanzar todo el plano? Si no, ¿cuál es la mayor región que
podemos alcanzar?

Dentro de esa región, ¿podemos cubrirla densamente, esto es. podemos
alcanzar cada punto aunque sea dentro de infinitos pasos?

¿Puede establecerse una relación directa entre los extremos de las ramas
y la representación binaria de los puntos del plano? ¿O con la
representación en base 3?

--

Antonio

On 21 ene, 03:18, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Supongamos la siguiente construcción en el plano:
>
> Para empezar trazamos un segmento horizontal de longitud 1, con centro
> en (0,0).
>
> Trazamos ahora otros dos segmentos verticales, también de longitud 1,
> centrados en cada uno de los extremos del segmento anterior.
>
> Centrados en cada una de los cuatro extremos de los dos anteriores
> trazamos dos segmentos horizontales de longitud 1/2.

supongo que es un segmento horizontal centrado en cada uno de los
cuatro extremos...

> Trazamos ahora ocho segmentos verticales de longitud 1/2 centrados en
> los extremos de los cuatro anteriores.

supongo que es un segmento vertical centrado en cada uno de los ocho
extremos anteriores...

> Continuamos el proceso indefinidamente, siguiendo una secuencia
> 1,1,1/2,1/2,1/4,1/4,...
>
> Contando solamente los extremos de las ramas como puntos,
>
> ¿Podemos alcanzar todo el plano? Si no, ¿cuál es la mayor región que
> podemos alcanzar?
>
> Dentro de esa región, ¿podemos cubrirla densamente, esto es. podemos
> alcanzar cada punto aunque sea dentro de infinitos pasos?
>
> ¿Puede establecerse una relación directa entre los extremos de las ramas
> y la representación binaria de los puntos del plano? ¿O con la
> representación en base 3?
>
> --
>
> *** ***Antonio


Si entendí bien, lo que se obtiene es un subconjunto denso del
cuadrado de lado 2 centrado en el origen.
Los puntos extremos son los puntos interiores del cuadrado cuyas
coordenadas tienen (ambas) una representación binaria finita.

jhn

jhnieto***gmail.com escribió:
> On 21 ene, 03:18, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> Supongamos la siguiente construcción en el plano:
>>
>> Para empezar trazamos un segmento horizontal de longitud 1, con centro
>> en (0,0).
>>
>> Trazamos ahora otros dos segmentos verticales, también de longitud 1,
>> centrados en cada uno de los extremos del segmento anterior.
>>
>> Centrados en cada una de los cuatro extremos de los dos anteriores
>> trazamos dos segmentos horizontales de longitud 1/2.
>
> supongo que es un segmento horizontal centrado en cada uno de los
> cuatro extremos...
>
>> Trazamos ahora ocho segmentos verticales de longitud 1/2 centrados en
>> los extremos de los cuatro anteriores.
>
> supongo que es un segmento vertical centrado en cada uno de los ocho
> extremos anteriores...

....de los cuatro segmentos anteriores, exacto.

>
>> Continuamos el proceso indefinidamente, siguiendo una secuencia
>> 1,1,1/2,1/2,1/4,1/4,...
>>
>> Contando solamente los extremos de las ramas como puntos,
>>
>> ¿Podemos alcanzar todo el plano? Si no, ¿cuál es la mayor región que
>> podemos alcanzar?
>>
>> Dentro de esa región, ¿podemos cubrirla densamente, esto es. podemos
>> alcanzar cada punto aunque sea dentro de infinitos pasos?
>>
>> ¿Puede establecerse una relación directa entre los extremos de las ramas
>> y la representación binaria de los puntos del plano? ¿O con la
>> representación en base 3?
>>
>
>
> Si entendí bien, lo que se obtiene es un subconjunto denso del
> cuadrado de lado 2 centrado en el origen.

Parece eso, por el dibujo,

> Los puntos extremos son los puntos interiores del cuadrado cuyas
> coordenadas tienen (ambas) una representación binaria finita.

¿Dónde está el (1/2,1/8), por ejemplo?

--

Antonio

On 22 ene, 03:30, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> jhni...***gmail.com escribió:
>
>
>
>
>
> > On 21 ene, 03:18, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> >> Supongamos la siguiente construcción en el plano:
>
> >> Para empezar trazamos un segmento horizontal de longitud 1, con centro
> >> en (0,0).
>
> >> Trazamos ahora otros dos segmentos verticales, también de longitud 1,
> >> centrados en cada uno de los extremos del segmento anterior.
>
> >> Centrados en cada una de los cuatro extremos de los dos anteriores
> >> trazamos dos segmentos horizontales de longitud 1/2.
>
> > supongo que es un segmento horizontal centrado en cada uno de los
> > cuatro extremos...
>
> >> Trazamos ahora ocho segmentos verticales de longitud 1/2 centrados en
> >> los extremos de los cuatro anteriores.
>
> > supongo que es un segmento vertical centrado en cada uno de los ocho
> > extremos anteriores...
>
> ...de los cuatro segmentos anteriores, exacto.
>
>
>
>
>
>
>
> >> Continuamos el proceso indefinidamente, siguiendo una secuencia
> >> 1,1,1/2,1/2,1/4,1/4,...
>
> >> Contando solamente los extremos de las ramas como puntos,
>
> >> ¿Podemos alcanzar todo el plano? Si no, ¿cuál es la mayor región que
> >> podemos alcanzar?
>
> >> Dentro de esa región, ¿podemos cubrirla densamente, esto es. podemos
> >> alcanzar cada punto aunque sea dentro de infinitos pasos?
>
> >> ¿Puede establecerse una relación directa entre los extremos de las ramas
> >> y la representación binaria de los puntos del plano? ¿O con la
> >> representación en base 3?
>
> > Si entendí bien, lo que se obtiene es un subconjunto denso del
> > cuadrado de lado 2 centrado en el origen.
>
> Parece eso, por el dibujo,
>
> > Los puntos extremos son los puntos interiores del cuadrado cuyas
> > coordenadas tienen (ambas) una representación binaria finita.
>
> ¿Dónde está el (1/2,1/8), por ejemplo?

Ups!, además de tener una representación binaria finita, el número de
dígitos de la abscisa debe ser igual o uno mayor que el de la
ordenada. En el primer cuadrante por ejemplo están

(.1, 0), (.1, .1)
(.01, .1), (.11, .1),
(.01, .01), (.01, .11), (.11, .01), (.11, .11),
etc.

Otra forma de decirlo: los extremos son de la forma (m/2^k, n/2^k) con
k>0, m y n impares y |m|, |n| < 2^k , o
(m/2^(k+1), n/2^k) con k>0, m y n impares, |m| < 2^(k+1), |n| < 2^k.

De todas formas son un conjunto denso en el cuadrado [-1,1]x[-1,1].


jhn